Theorem 0npi 6503

Description: The empty set is not a positive integer. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0npi	⊢ ¬ ∅ ∈ N

Proof of Theorem 0npi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2081	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		elni 6498	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ N ↔ (∅ ∈ ω ∧ ∅ ≠ ∅))
3	2	simprbi 269	. . 3 ⊢ (∅ ∈ N → ∅ ≠ ∅)
4	3	necon2bi 2300	. 2 ⊢ (∅ = ∅ → ¬ ∅ ∈ N)
5	1, 4	ax-mp 7	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ N

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245  ∅c0 3251  ωcom 4331  Ncnpi 6462

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-v 2603  df-dif 2975  df-sn 3404  df-ni 6494

This theorem is referenced by:  elni2  6504