Theorem elni2 6504

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni2	⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6499	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		0npi 6503	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
3		eleq1 2141	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ N ↔ ∅ ∈ N))
4	2, 3	mtbiri 632	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ N)
5	4	con2i 589	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 = ∅)
6		0elnn 4358	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
8	7	ord 675	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (¬ 𝐴 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
9	5, 8	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ∅ ∈ 𝐴)
10	1, 9	jca 300	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
11		nndceq0 4357	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → DECID 𝐴 = ∅)
12		df-dc 776	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝐴 = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅))
13	11, 12	sylib 120	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅))
14	13	anim1i 333	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
15		ancom 262	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅)) ↔ ((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
16		andi 764	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅)) ↔ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
17	15, 16	bitr3i 184	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
18	14, 17	sylib 120	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
19		noel 3255	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ ∈ ∅
20		eleq2 2142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ ∅))
21	19, 20	mtbiri 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
22	21	pm2.21d 581	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∈ 𝐴 → 𝐴 ∈ N))
23	22	impcom 123	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ N)
24	23	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ N))
25		df-ne 2246	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
26		elni 6498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
27	26	simplbi2 377	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ N))
28	25, 27	syl5bir 151	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ N))
29	28	adantld 272	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ N))
30	24, 29	jaod 669	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)) → 𝐴 ∈ N))
31	30	adantr 270	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)) → 𝐴 ∈ N))
32	18, 31	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ N)
33	10, 32	impbii 124	1 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 661  DECID wdc 775   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245  ∅c0 3251  ωcom 4331  Ncnpi 6462

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-int 3637  df-suc 4126  df-iom 4332  df-ni 6494

This theorem is referenced by:  addclpi  6517  mulclpi  6518  mulcanpig  6525  addnidpig  6526  ltexpi  6527  ltmpig  6529  nnppipi  6533  archnqq  6607  enq0tr  6624