Theorem bj-sucexg 10713

Description: sucexg 4242 from bounded separation. (Contributed by BJ, 13-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-sucexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem bj-sucexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-snexg 10703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)
2	1	pm4.71i 383	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {𝐴} ∈ V))
3	2	biimpi 118	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {𝐴} ∈ V))
4		bj-unexg 10712	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {𝐴} ∈ V) → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
5		df-suc 4126	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
6	5	eleq1i 2144	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
7	6	biimpri 131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V → suc 𝐴 ∈ V)
8	3, 4, 7	3syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601   ∪ cun 2971  {csn 3398  suc csuc 4120

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-bd0 10604  ax-bdor 10607  ax-bdex 10610  ax-bdeq 10611  ax-bdel 10612  ax-bdsb 10613  ax-bdsep 10675

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-suc 4126  df-bdc 10632

This theorem is referenced by:  bj-sucex  10714