Theorem brab 4027

Description: The law of concretion for a binary relation. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelopab.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opelopab.2	⊢ 𝐵 ∈ V
opelopab.3	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
opelopab.4	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
brab.5	⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}

Assertion

Ref	Expression
brab	⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜒,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem brab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelopab.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		opelopab.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		opelopab.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		opelopab.4	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
5		brab.5	. . 3 ⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
6	3, 4, 5	brabg 4024	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝜒))
7	1, 2, 6	mp2an 416	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601   class class class wbr 3785  {copab 3838

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840

This theorem is referenced by:  dftpos4  5901  enq0sym  6622  enq0ref  6623  enq0tr  6624  shftfn  9712