Theorem elfzoel2 9156

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fzo 9153	. 2 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
2	1	elmpt2cl2 5720	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1433  (class class class)co 5532  1c1 6982   − cmin 7279  ℤcz 8351  ...cfz 9029  ..^cfzo 9152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-fzo 9153

This theorem is referenced by:  elfzoelz  9157  elfzo2  9160  elfzole1  9164  elfzolt2  9165  elfzolt3  9166  elfzolt2b  9167  elfzolt3b  9168  fzonel  9169  elfzouz2  9170  fzonnsub  9178  fzoss1  9180  fzospliti  9185  fzodisj  9187  fzoaddel  9201  fzosubel  9203  fzoend  9231  ssfzo12  9233  fzofzp1  9236  peano2fzor  9241  fzostep1  9246  fzomaxdiflem  9998  fzo0dvdseq  10257  fzocongeq  10258  addmodlteqALT  10259