Theorem fabex 5098

Description: Existence of a set of functions. (Contributed by NM, 3-Dec-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fabex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fabex.2	⊢ 𝐵 ∈ V
fabex.3	⊢ 𝐹 = {𝑥 ∣ (𝑥:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝜑)}

Assertion

Ref	Expression
fabex	⊢ 𝐹 ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fabex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		fabex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		fabex.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = {𝑥 ∣ (𝑥:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝜑)}
4	3	fabexg 5097	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
5	1, 2, 4	mp2an 416	1 ⊢ 𝐹 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  {cab 2067  Vcvv 2601  ⟶wf 4918

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926

This theorem is referenced by: (None)