Theorem lesubadd 7538

Description: 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lesubadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem lesubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 938	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simp2 939	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 7485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4		simp3 940	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
5		leadd1 7534	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	3, 4, 2, 5	syl3anc 1169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
7	1	recnd 7147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2	recnd 7147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	npcand 7423	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
10	9	breq1d 3795	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
11	6, 10	bitrd 186	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   ∧ w3a 919   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℝcr 6980   + caddc 6984   ≤ cle 7154   − cmin 7279

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282

This theorem is referenced by:  lesubadd2  7539  suble  7544  lesub1  7560  lesub2  7561  subge02  7582  lesubaddi  7607  lesubaddd  7642  fzen  9062  abs2dif  9992