Theorem mulid2 7117

Description: Identity law for multiplication. Note: see mulid1 7116 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mulid2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7069	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulcom 7102	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
3	1, 2	mpan 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
4		mulid1 7116	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2113	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  1c1 6982   · cmul 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-mulcl 7074  ax-mulcom 7077  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-1rid 7083  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535

This theorem is referenced by:  mulid2i  7122  mulid2d  7137  muladd11  7241  1p1times  7242  mulm1  7504  div1  7791  recdivap  7806  divdivap2  7812  conjmulap  7817  expp1  9483  recan  9995  gcdadd  10376  gcdid  10377