Theorem mulid2d 7137

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulid2 7117	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  1c1 6982   · cmul 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-mulcl 7074  ax-mulcom 7077  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-1rid 7083  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535

This theorem is referenced by:  adddirp1d  7145  mulsubfacd  7522  mulcanapd  7751  receuap  7759  divdivdivap  7801  divcanap5  7802  ltrec  7961  recp1lt1  7977  nndivtr  8080  xp1d2m1eqxm1d2  8283  gtndiv  8442  lincmb01cmp  9025  iccf1o  9026  modqfrac  9339  qnegmod  9371  addmodid  9374  m1expcl2  9498  expgt1  9514  ltexp2a  9528  leexp2a  9529  binom3  9590  faclbnd  9668  facavg  9673  ibcval5  9690  cvg1nlemcau  9870  resqrexlemover  9896  resqrexlemcalc2  9901  absimle  9970  maxabslemlub  10093  iddvds  10208  gcdaddm  10375  rpmulgcd  10415  prmind2  10502  qdencn  10785