Theorem nn0ssre 8292

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8289	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 8043	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 7119	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 3529	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 3147	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3029	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 1433   ∪ cun 2971   ⊆ wss 2973  {csn 3398  ℝcr 6980  0cc0 6981  ℕcn 8039  ℕ₀cn0 8288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1re 7070  ax-addrcl 7073  ax-rnegex 7085

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-sn 3404  df-int 3637  df-inn 8040  df-n0 8289

This theorem is referenced by:  nn0sscn  8293  nn0re  8297  nn0rei  8299  nn0red  8342