Theorem tposfo 5909

Description: The domain and range of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposfo	⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶)

Proof of Theorem tposfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4465	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposfo2 5905	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶)
4		cnvxp 4762	. . 3 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5		foeq2 5123	. . 3 ⊢ (◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴) → (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶))
6	4, 5	ax-mp 7	. 2 ⊢ (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶)
7	3, 6	sylib 120	1 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   = wceq 1284   × cxp 4361  ^◡ccnv 4362  Rel wrel 4368  –onto→wfo 4920  tpos ctpos 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-fo 4928  df-fv 4930  df-tpos 5883

This theorem is referenced by: (None)