Theorem xp01disj 6040

Description: Cartesian products with the singletons of ordinals 0 and 1 are disjoint. (Contributed by NM, 2-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xp01disj	⊢ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐶 × {1𝑜})) = ∅

Proof of Theorem xp01disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 6039	. . 3 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
2	1	necomi 2330	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1𝑜
3		xpsndisj 4769	. 2 ⊢ (∅ ≠ 1𝑜 → ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐶 × {1𝑜})) = ∅)
4	2, 3	ax-mp 7	1 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐶 × {1𝑜})) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1284   ≠ wne 2245   ∩ cin 2972  ∅c0 3251  {csn 3398   × cxp 4361  1_𝑜c1o 6017

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-suc 4126  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-1o 6024

This theorem is referenced by:  endisj  6321