Theorem 1stcclb 21247

Description: A property of points in a first-countable topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Aug-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
1stcclb.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
1stcclb	|- ( ( J e. 1stc /\ A e. X ) -> E. x e. ~P J ( x ~<_ om /\ A. y e. J ( A e. y -> E. z e. x ( A e. z /\ z C_ y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, J, y, z   x, X, y, z

Proof of Theorem 1stcclb

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stcclb.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	is1stc2 21245	. . 3 |- ( J e. 1stc <-> ( J e. Top /\ A. w e. X E. x e. ~P J ( x ~<_ om /\ A. y e. J ( w e. y -> E. z e. x ( w e. z /\ z C_ y ) ) ) ) )
3	2	simprbi 480	. 2 |- ( J e. 1stc -> A. w e. X E. x e. ~P J ( x ~<_ om /\ A. y e. J ( w e. y -> E. z e. x ( w e. z /\ z C_ y ) ) ) )
4		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( w e. y <-> A e. y ) )
5		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( w = A -> ( w e. z <-> A e. z ) )
6	5	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> ( ( w e. z /\ z C_ y ) <-> ( A e. z /\ z C_ y ) ) )
7	6	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( E. z e. x ( w e. z /\ z C_ y ) <-> E. z e. x ( A e. z /\ z C_ y ) ) )
8	4, 7	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( ( w e. y -> E. z e. x ( w e. z /\ z C_ y ) ) <-> ( A e. y -> E. z e. x ( A e. z /\ z C_ y ) ) ) )
9	8	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( w = A -> ( A. y e. J ( w e. y -> E. z e. x ( w e. z /\ z C_ y ) ) <-> A. y e. J ( A e. y -> E. z e. x ( A e. z /\ z C_ y ) ) ) )
10	9	anbi2d 740	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( x ~<_ om /\ A. y e. J ( w e. y -> E. z e. x ( w e. z /\ z C_ y ) ) ) <-> ( x ~<_ om /\ A. y e. J ( A e. y -> E. z e. x ( A e. z /\ z C_ y ) ) ) ) )
11	10	rexbidv 3052	. . 3 |- ( w = A -> ( E. x e. ~P J ( x ~<_ om /\ A. y e. J ( w e. y -> E. z e. x ( w e. z /\ z C_ y ) ) ) <-> E. x e. ~P J ( x ~<_ om /\ A. y e. J ( A e. y -> E. z e. x ( A e. z /\ z C_ y ) ) ) ) )
12	11	rspcv 3305	. 2 |- ( A e. X -> ( A. w e. X E. x e. ~P J ( x ~<_ om /\ A. y e. J ( w e. y -> E. z e. x ( w e. z /\ z C_ y ) ) ) -> E. x e. ~P J ( x ~<_ om /\ A. y e. J ( A e. y -> E. z e. x ( A e. z /\ z C_ y ) ) ) ) )
13	3, 12	mpan9 486	1 |- ( ( J e. 1stc /\ A e. X ) -> E. x e. ~P J ( x ~<_ om /\ A. y e. J ( A e. y -> E. z e. x ( A e. z /\ z C_ y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   Topctop 20698   1stcc1stc 21240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160  df-uni 4437  df-1stc 21242

This theorem is referenced by:  1stcfb  21248  1stcrest  21256  lly1stc  21299  tx1stc  21453