Theorem tx1stc 21453

Description: The topological product of two first-countable spaces is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tx1stc	|- ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) -> ( R tX S ) e. 1stc )

Proof of Theorem tx1stc

Dummy variables a b m n p q r s u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stctop 21246	. . 3 |- ( R e. 1stc -> R e. Top )
2		1stctop 21246	. . 3 |- ( S e. 1stc -> S e. Top )
3		txtop 21372	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )
4	1, 2, 3	syl2an 494	. 2 |- ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) -> ( R tX S ) e. Top )
5		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. R = U. R
6	5	1stcclb 21247	. . . . . . 7 |- ( ( R e. 1stc /\ u e. U. R ) -> E. a e. ~P R ( a ~<_ om /\ A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) ) )
7	6	ad2ant2r 783	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) -> E. a e. ~P R ( a ~<_ om /\ A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) ) )
8		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. S = U. S
9	8	1stcclb 21247	. . . . . . 7 |- ( ( S e. 1stc /\ v e. U. S ) -> E. b e. ~P S ( b ~<_ om /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) )
10	9	ad2ant2l 782	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) -> E. b e. ~P S ( b ~<_ om /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) )
11		reeanv 3107	. . . . . . 7 |- ( E. a e. ~P R E. b e. ~P S ( ( a ~<_ om /\ A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) ) /\ ( b ~<_ om /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) <-> ( E. a e. ~P R ( a ~<_ om /\ A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) ) /\ E. b e. ~P S ( b ~<_ om /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) )
12		an4 865	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a ~<_ om /\ A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) ) /\ ( b ~<_ om /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) <-> ( ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) /\ ( A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) )
13		txopn 21405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( m e. R /\ n e. S ) ) -> ( m X. n ) e. ( R tX S ) )
14	13	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> A. m e. R A. n e. S ( m X. n ) e. ( R tX S ) )
15	1, 2, 14	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) -> A. m e. R A. n e. S ( m X. n ) e. ( R tX S ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) -> A. m e. R A. n e. S ( m X. n ) e. ( R tX S ) )
17		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. ~P R -> a C_ R )
18		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a C_ R -> ( A. m e. R A. n e. S ( m X. n ) e. ( R tX S ) -> A. m e. a A. n e. S ( m X. n ) e. ( R tX S ) ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. ~P R -> ( A. m e. R A. n e. S ( m X. n ) e. ( R tX S ) -> A. m e. a A. n e. S ( m X. n ) e. ( R tX S ) ) )
20		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b e. ~P S -> b C_ S )
21		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b C_ S -> ( A. n e. S ( m X. n ) e. ( R tX S ) -> A. n e. b ( m X. n ) e. ( R tX S ) ) )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. ~P S -> ( A. n e. S ( m X. n ) e. ( R tX S ) -> A. n e. b ( m X. n ) e. ( R tX S ) ) )
23	22	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. ~P S -> ( A. m e. a A. n e. S ( m X. n ) e. ( R tX S ) -> A. m e. a A. n e. b ( m X. n ) e. ( R tX S ) ) )
24	19, 23	sylan9 689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) -> ( A. m e. R A. n e. S ( m X. n ) e. ( R tX S ) -> A. m e. a A. n e. b ( m X. n ) e. ( R tX S ) ) )
25	16, 24	mpan9 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) -> A. m e. a A. n e. b ( m X. n ) e. ( R tX S ) )
26		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) = ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) )
27	26	fmpt2 7237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. m e. a A. n e. b ( m X. n ) e. ( R tX S ) <-> ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) : ( a X. b ) --> ( R tX S ) )
28	25, 27	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) -> ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) : ( a X. b ) --> ( R tX S ) )
29		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) : ( a X. b ) --> ( R tX S ) -> ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) C_ ( R tX S ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) -> ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) C_ ( R tX S ) )
31		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R tX S ) e. _V
32	31	elpw2 4828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) e. ~P ( R tX S ) <-> ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) C_ ( R tX S ) )
33	30, 32	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) -> ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) e. ~P ( R tX S ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) /\ ( A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) ) -> ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) e. ~P ( R tX S ) )
35		omelon 8543	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- om e. On
36		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- b e. _V
37	36	xpdom1 8059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a ~<_ om -> ( a X. b ) ~<_ ( om X. b ) )
38		omex 8540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- om e. _V
39	38	xpdom2 8055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b ~<_ om -> ( om X. b ) ~<_ ( om X. om ) )
40		domtr 8009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a X. b ) ~<_ ( om X. b ) /\ ( om X. b ) ~<_ ( om X. om ) ) -> ( a X. b ) ~<_ ( om X. om ) )
41	37, 39, 40	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) -> ( a X. b ) ~<_ ( om X. om ) )
42		xpomen 8838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( om X. om ) ~~ om
43		domentr 8015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a X. b ) ~<_ ( om X. om ) /\ ( om X. om ) ~~ om ) -> ( a X. b ) ~<_ om )
44	41, 42, 43	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) -> ( a X. b ) ~<_ om )
45		ondomen 8860	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( om e. On /\ ( a X. b ) ~<_ om ) -> ( a X. b ) e. dom card )
46	35, 44, 45	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) -> ( a X. b ) e. dom card )
47		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- m e. _V
48		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- n e. _V
49	47, 48	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m X. n ) e. _V
50	26, 49	fnmpt2i 7239	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) Fn ( a X. b )
51		dffn4 6121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) Fn ( a X. b ) <-> ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) : ( a X. b ) -onto-> ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) )
52	50, 51	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) : ( a X. b ) -onto-> ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) )
53		fodomnum 8880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a X. b ) e. dom card -> ( ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) : ( a X. b ) -onto-> ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) -> ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ~<_ ( a X. b ) ) )
54	46, 52, 53	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) -> ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ~<_ ( a X. b ) )
55		domtr 8009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ~<_ ( a X. b ) /\ ( a X. b ) ~<_ om ) -> ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ~<_ om )
56	54, 44, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) -> ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ~<_ om )
57	56	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) /\ ( A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) ) -> ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ~<_ om )
58	1, 2	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) -> ( R e. Top /\ S e. Top ) )
59	58	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) /\ ( A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) ) -> ( R e. Top /\ S e. Top ) )
60		eltx 21371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( z e. ( R tX S ) <-> A. w e. z E. r e. R E. s e. S ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) )
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) /\ ( A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) ) -> ( z e. ( R tX S ) <-> A. w e. z E. r e. R E. s e. S ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) )
62		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = <. u , v >. -> ( w e. ( r X. s ) <-> <. u , v >. e. ( r X. s ) ) )
63	62	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = <. u , v >. -> ( ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) <-> ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) )
64	63	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = <. u , v >. -> ( E. r e. R E. s e. S ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) <-> E. r e. R E. s e. S ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) )
65	64	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. w e. z E. r e. R E. s e. S ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) -> ( <. u , v >. e. z -> E. r e. R E. s e. S ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) )
66		r19.27v 3070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) -> A. r e. R ( ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) )
67		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. r e. R ( ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) /\ E. r e. R E. s e. S ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> E. r e. R ( ( ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) /\ E. s e. S ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) )
68		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ E. s e. S ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> E. s e. S ( ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) )
69		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( <. u , v >. e. ( r X. s ) <-> ( u e. r /\ v e. s ) )
70		pm3.35 611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( u e. r /\ ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) ) -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) )
71		pm3.35 611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( v e. s /\ ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) )
72	70, 71	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( u e. r /\ ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) ) /\ ( v e. s /\ ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) -> ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) )
73	72	an4s 869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( u e. r /\ v e. s ) /\ ( ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) -> ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) )
74	69, 73	sylanb 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) -> ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) )
75	74	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) -> ( ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) )
76	75	anasss 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( ( ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> ( ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) )
77	76	an12s 843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) /\ ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> ( ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) )
78	77	expl 648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) -> ( ( ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> ( ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) )
79	78	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) -> ( E. s e. S ( ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> E. s e. S ( ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) )
80	68, 79	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) -> ( ( A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ E. s e. S ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> E. s e. S ( ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) )
81	80	impl 650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) /\ E. s e. S ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> E. s e. S ( ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) )
82	81	reximi 3011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. r e. R ( ( ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) /\ E. s e. S ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> E. r e. R E. s e. S ( ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) )
83	67, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. r e. R ( ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) /\ E. r e. R E. s e. S ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> E. r e. R E. s e. S ( ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) )
84	66, 83	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) /\ E. r e. R E. s e. S ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> E. r e. R E. s e. S ( ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) )
85		reeanv 3107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( E. p e. a E. q e. b ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) <-> ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) )
86		simpr1l 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ ( ( p e. a /\ q e. b ) /\ ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> p e. a )
87		simpr1r 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ ( ( p e. a /\ q e. b ) /\ ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> q e. b )
88		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ ( ( p e. a /\ q e. b ) /\ ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> ( p X. q ) = ( p X. q ) )
89		xpeq1 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( m = p -> ( m X. n ) = ( p X. n ) )
90	89	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( m = p -> ( ( p X. q ) = ( m X. n ) <-> ( p X. q ) = ( p X. n ) ) )
91		xpeq2 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n = q -> ( p X. n ) = ( p X. q ) )
92	91	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n = q -> ( ( p X. q ) = ( p X. n ) <-> ( p X. q ) = ( p X. q ) ) )
93	90, 92	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( p e. a /\ q e. b /\ ( p X. q ) = ( p X. q ) ) -> E. m e. a E. n e. b ( p X. q ) = ( m X. n ) )
94	86, 87, 88, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ ( ( p e. a /\ q e. b ) /\ ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> E. m e. a E. n e. b ( p X. q ) = ( m X. n ) )
95		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- p e. _V
96		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- q e. _V
97	95, 96	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( p X. q ) e. _V
98		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = ( p X. q ) -> ( x = ( m X. n ) <-> ( p X. q ) = ( m X. n ) ) )
99	98	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = ( p X. q ) -> ( E. m e. a E. n e. b x = ( m X. n ) <-> E. m e. a E. n e. b ( p X. q ) = ( m X. n ) ) )
100	97, 99	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( p X. q ) e. { x | E. m e. a E. n e. b x = ( m X. n ) } <-> E. m e. a E. n e. b ( p X. q ) = ( m X. n ) )
101	94, 100	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ ( ( p e. a /\ q e. b ) /\ ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> ( p X. q ) e. { x | E. m e. a E. n e. b x = ( m X. n ) } )
102	26	rnmpt2 6770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) = { x | E. m e. a E. n e. b x = ( m X. n ) }
103	101, 102	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ ( ( p e. a /\ q e. b ) /\ ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> ( p X. q ) e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) )
104		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ ( ( p e. a /\ q e. b ) /\ ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) )
105		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( u e. p /\ v e. q ) -> <. u , v >. e. ( p X. q ) )
106	105	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) -> <. u , v >. e. ( p X. q ) )
107	104, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ ( ( p e. a /\ q e. b ) /\ ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> <. u , v >. e. ( p X. q ) )
108		xpss12 5225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( p C_ r /\ q C_ s ) -> ( p X. q ) C_ ( r X. s ) )
109	108	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) -> ( p X. q ) C_ ( r X. s ) )
110	104, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ ( ( p e. a /\ q e. b ) /\ ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> ( p X. q ) C_ ( r X. s ) )
111		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ ( ( p e. a /\ q e. b ) /\ ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> ( r X. s ) C_ z )
112	110, 111	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ ( ( p e. a /\ q e. b ) /\ ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> ( p X. q ) C_ z )
113		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = ( p X. q ) -> ( <. u , v >. e. w <-> <. u , v >. e. ( p X. q ) ) )
114		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = ( p X. q ) -> ( w C_ z <-> ( p X. q ) C_ z ) )
115	113, 114	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = ( p X. q ) -> ( ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) <-> ( <. u , v >. e. ( p X. q ) /\ ( p X. q ) C_ z ) ) )
116	115	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( p X. q ) e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) /\ ( <. u , v >. e. ( p X. q ) /\ ( p X. q ) C_ z ) ) -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) )
117	103, 107, 112, 116	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ ( ( p e. a /\ q e. b ) /\ ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) )
118	117	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( ( p e. a /\ q e. b ) -> ( ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) -> ( ( r X. s ) C_ z -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )
119	118	rexlimdvv 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( E. p e. a E. q e. b ( ( u e. p /\ p C_ r ) /\ ( v e. q /\ q C_ s ) ) -> ( ( r X. s ) C_ z -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) )
120	85, 119	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) -> ( ( r X. s ) C_ z -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) )
121	120	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( ( ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) )
122	121	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) -> ( E. r e. R E. s e. S ( ( E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) /\ E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) /\ ( r X. s ) C_ z ) -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) )
123	84, 122	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) -> ( ( ( A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) /\ E. r e. R E. s e. S ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) ) -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) )
124	123	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) ) -> ( ( A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) -> ( E. r e. R E. s e. S ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) )
125	124	impr 649	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) /\ ( A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) ) -> ( E. r e. R E. s e. S ( <. u , v >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) )
126	65, 125	syl9r 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) /\ ( A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) ) -> ( A. w e. z E. r e. R E. s e. S ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ z ) -> ( <. u , v >. e. z -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) )
127	61, 126	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) /\ ( A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) ) -> ( z e. ( R tX S ) -> ( <. u , v >. e. z -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) )
128	127	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) /\ ( A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) ) -> A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) )
129		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) -> ( y ~<_ om <-> ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ~<_ om ) )
130		rexeq 3139	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) -> ( E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) <-> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) )
131	130	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) -> ( ( <. u , v >. e. z -> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) <-> ( <. u , v >. e. z -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) )
132	131	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) -> ( A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) <-> A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) )
133	129, 132	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) -> ( ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) <-> ( ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )
134	133	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) e. ~P ( R tX S ) /\ ( ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. ran ( m e. a , n e. b |-> ( m X. n ) ) ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) ) -> E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) )
135	34, 57, 128, 134	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) /\ ( ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) /\ ( A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) ) -> E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) )
136	135	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) -> ( ( ( a ~<_ om /\ b ~<_ om ) /\ ( A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) -> E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )
137	12, 136	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) /\ ( a e. ~P R /\ b e. ~P S ) ) -> ( ( ( a ~<_ om /\ A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) ) /\ ( b ~<_ om /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) -> E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )
138	137	rexlimdvva 3038	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) -> ( E. a e. ~P R E. b e. ~P S ( ( a ~<_ om /\ A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) ) /\ ( b ~<_ om /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) -> E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )
139	11, 138	syl5bir 233	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) -> ( ( E. a e. ~P R ( a ~<_ om /\ A. r e. R ( u e. r -> E. p e. a ( u e. p /\ p C_ r ) ) ) /\ E. b e. ~P S ( b ~<_ om /\ A. s e. S ( v e. s -> E. q e. b ( v e. q /\ q C_ s ) ) ) ) -> E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )
140	7, 10, 139	mp2and 715	. . . . 5 |- ( ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) /\ ( u e. U. R /\ v e. U. S ) ) -> E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) )
141	140	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) -> A. u e. U. R A. v e. U. S E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) )
142		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. u , v >. -> ( x e. z <-> <. u , v >. e. z ) )
143		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. u , v >. -> ( x e. w <-> <. u , v >. e. w ) )
144	143	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. u , v >. -> ( ( x e. w /\ w C_ z ) <-> ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) )
145	144	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. u , v >. -> ( E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) <-> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) )
146	142, 145	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( x = <. u , v >. -> ( ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) <-> ( <. u , v >. e. z -> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) )
147	146	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( x = <. u , v >. -> ( A. z e. ( R tX S ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) <-> A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) )
148	147	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( x = <. u , v >. -> ( ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) <-> ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )
149	148	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( x = <. u , v >. -> ( E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) <-> E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )
150	149	ralxp 5263	. . . 4 |- ( A. x e. ( U. R X. U. S ) E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) <-> A. u e. U. R A. v e. U. S E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( <. u , v >. e. z -> E. w e. y ( <. u , v >. e. w /\ w C_ z ) ) ) )
151	141, 150	sylibr 224	. . 3 |- ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) -> A. x e. ( U. R X. U. S ) E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
152	5, 8	txuni 21395	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( R tX S ) )
153	1, 2, 152	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( R tX S ) )
154	153	raleqdv 3144	. . 3 |- ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) -> ( A. x e. ( U. R X. U. S ) E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) <-> A. x e. U. ( R tX S ) E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )
155	151, 154	mpbid 222	. 2 |- ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) -> A. x e. U. ( R tX S ) E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
156		eqid 2622	. . 3 |- U. ( R tX S ) = U. ( R tX S )
157	156	is1stc2 21245	. 2 |- ( ( R tX S ) e. 1stc <-> ( ( R tX S ) e. Top /\ A. x e. U. ( R tX S ) E. y e. ~P ( R tX S ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( R tX S ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )
158	4, 155, 157	sylanbrc 698	1 |- ( ( R e. 1stc /\ S e. 1stc ) -> ( R tX S ) e. 1stc )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   cardccrd 8761   Topctop 20698   1stcc1stc 21240   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-1stc 21242  df-tx 21365

This theorem is referenced by: (None)