Theorem is1stc2 21245

Description: An equivalent way of saying "is a first-countable topology." (Contributed by Jeff Hankins, 22-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
is1stc.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
is1stc2	|- ( J e. 1stc <-> ( J e. Top /\ A. x e. X E. y e. ~P J ( y ~<_ om /\ A. z e. J ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z   x, J, y, z   x, X

Allowed substitution hints:   J( w)   X( y, z, w)

Proof of Theorem is1stc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is1stc.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	is1stc 21244	. 2 |- ( J e. 1stc <-> ( J e. Top /\ A. x e. X E. y e. ~P J ( y ~<_ om /\ A. z e. J ( x e. z -> x e. U. ( y i^i ~P z ) ) ) ) )
3		elin 3796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ( y i^i ~P z ) <-> ( w e. y /\ w e. ~P z ) )
4		selpw 4165	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ~P z <-> w C_ z )
5	4	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. y /\ w e. ~P z ) <-> ( w e. y /\ w C_ z ) )
6	3, 5	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. ( y i^i ~P z ) <-> ( w e. y /\ w C_ z ) )
7	6	anbi2i 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. w /\ w e. ( y i^i ~P z ) ) <-> ( x e. w /\ ( w e. y /\ w C_ z ) ) )
8		an12 838	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. w /\ ( w e. y /\ w C_ z ) ) <-> ( w e. y /\ ( x e. w /\ w C_ z ) ) )
9	7, 8	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. w /\ w e. ( y i^i ~P z ) ) <-> ( w e. y /\ ( x e. w /\ w C_ z ) ) )
10	9	exbii 1774	. . . . . . . . 9 |- ( E. w ( x e. w /\ w e. ( y i^i ~P z ) ) <-> E. w ( w e. y /\ ( x e. w /\ w C_ z ) ) )
11		eluni 4439	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U. ( y i^i ~P z ) <-> E. w ( x e. w /\ w e. ( y i^i ~P z ) ) )
12		df-rex 2918	. . . . . . . . 9 |- ( E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) <-> E. w ( w e. y /\ ( x e. w /\ w C_ z ) ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 292	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. ( y i^i ~P z ) <-> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) )
14	13	imbi2i 326	. . . . . . 7 |- ( ( x e. z -> x e. U. ( y i^i ~P z ) ) <-> ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) )
15	14	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. z e. J ( x e. z -> x e. U. ( y i^i ~P z ) ) <-> A. z e. J ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) )
16	15	anbi2i 730	. . . . 5 |- ( ( y ~<_ om /\ A. z e. J ( x e. z -> x e. U. ( y i^i ~P z ) ) ) <-> ( y ~<_ om /\ A. z e. J ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
17	16	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. y e. ~P J ( y ~<_ om /\ A. z e. J ( x e. z -> x e. U. ( y i^i ~P z ) ) ) <-> E. y e. ~P J ( y ~<_ om /\ A. z e. J ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
18	17	ralbii 2980	. . 3 |- ( A. x e. X E. y e. ~P J ( y ~<_ om /\ A. z e. J ( x e. z -> x e. U. ( y i^i ~P z ) ) ) <-> A. x e. X E. y e. ~P J ( y ~<_ om /\ A. z e. J ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
19	18	anbi2i 730	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. X E. y e. ~P J ( y ~<_ om /\ A. z e. J ( x e. z -> x e. U. ( y i^i ~P z ) ) ) ) <-> ( J e. Top /\ A. x e. X E. y e. ~P J ( y ~<_ om /\ A. z e. J ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )
20	2, 19	bitri 264	1 |- ( J e. 1stc <-> ( J e. Top /\ A. x e. X E. y e. ~P J ( y ~<_ om /\ A. z e. J ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   Topctop 20698   1stcc1stc 21240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160  df-uni 4437  df-1stc 21242

This theorem is referenced by:  1stcclb  21247  2ndc1stc  21254  1stcrest  21256  lly1stc  21299  tx1stc  21453  met1stc  22326