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Theorem 1stcrest 21256
Description: A subspace of a first-countable space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
1stcrest |- ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. 1stc )
Proof of Theorem 1stcrest
Dummy variables t a v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stctop 21246 . . 3 |- ( J e. 1stc -> J e. Top )
2 resttop 20964 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
31, 2sylan 488 . 2 |- ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
4 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- U. J = U. J
54restuni2 20971 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( A i^i U. J ) = U. ( J ↾t A ) )
61, 5sylan 488 . . . . . 6 |- ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) -> ( A i^i U. J ) = U. ( J ↾t A ) )
76eleq2d 2687 . . . . 5 |- ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) -> ( x e. ( A i^i U. J ) <-> x e. U. ( J ↾t A ) ) )
87biimpar 502 . . . 4 |- ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. U. ( J ↾t A ) ) -> x e. ( A i^i U. J ) )
9 simpl 473 . . . . . 6 |- ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) -> J e. 1stc )
10 inss2 3834 . . . . . . 7 |- ( A i^i U. J ) C_ U. J
1110sseli 3599 . . . . . 6 |- ( x e. ( A i^i U. J ) -> x e. U. J )
1241stcclb 21247 . . . . . 6 |- ( ( J e. 1stc /\ x e. U. J ) -> E. t e. ~P J ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) )
139, 11, 12syl2an 494 . . . . 5 |- ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) -> E. t e. ~P J ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) )
14 simplll 798 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> J e. 1stc )
15 elpwi 4168 . . . . . . . . 9 |- ( t e. ~P J -> t C_ J )
1615ad2antrl 764 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> t C_ J )
17 ssrest 20980 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. 1stc /\ t C_ J ) -> ( t ↾t A ) C_ ( J ↾t A ) )
1814, 16, 17syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> ( t ↾t A ) C_ ( J ↾t A ) )
19 ovex 6678 . . . . . . . 8 |- ( J ↾t A ) e. _V
2019elpw2 4828 . . . . . . 7 |- ( ( t ↾t A ) e. ~P ( J ↾t A ) <-> ( t ↾t A ) C_ ( J ↾t A ) )
2118, 20sylibr 224 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> ( t ↾t A ) e. ~P ( J ↾t A ) )
22 vex 3203 . . . . . . . 8 |- t e. _V
23 simpllr 799 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> A e. V )
24 restval 16087 . . . . . . . 8 |- ( ( t e. _V /\ A e. V ) -> ( t ↾t A ) = ran ( v e. t |-> ( v i^i A ) ) )
2522, 23, 24sylancr 695 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> ( t ↾t A ) = ran ( v e. t |-> ( v i^i A ) ) )
26 simprrl 804 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> t ~<_ om )
27 1stcrestlem 21255 . . . . . . . 8 |- ( t ~<_ om -> ran ( v e. t |-> ( v i^i A ) ) ~<_ om )
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> ran ( v e. t |-> ( v i^i A ) ) ~<_ om )
2925, 28eqbrtrd 4675 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> ( t ↾t A ) ~<_ om )
301ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> J e. Top )
31 elrest 16088 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. a e. J z = ( a i^i A ) ) )
3230, 23, 31syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. a e. J z = ( a i^i A ) ) )
33 r19.29 3072 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) /\ E. a e. J z = ( a i^i A ) ) -> E. a e. J ( ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) /\ z = ( a i^i A ) ) )
34 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> x e. A )
3534a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( x e. y -> x e. A ) )
3635ancld 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( x e. y -> ( x e. y /\ x e. A ) ) )
37 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ( y i^i A ) <-> ( x e. y /\ x e. A ) )
3836, 37syl6ibr 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( x e. y -> x e. ( y i^i A ) ) )
39 ssrin 3838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y C_ a -> ( y i^i A ) C_ ( a i^i A ) )
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( y C_ a -> ( y i^i A ) C_ ( a i^i A ) ) )
4138, 40anim12d 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( ( x e. y /\ y C_ a ) -> ( x e. ( y i^i A ) /\ ( y i^i A ) C_ ( a i^i A ) ) ) )
4241reximdv 3016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) -> E. y e. t ( x e. ( y i^i A ) /\ ( y i^i A ) C_ ( a i^i A ) ) ) )
43 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- y e. _V
4443inex1 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y i^i A ) e. _V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) /\ y e. t ) -> ( y i^i A ) e. _V )
46 simp-4r 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> A e. V )
47 elrest 16088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( t e. _V /\ A e. V ) -> ( w e. ( t ↾t A ) <-> E. y e. t w = ( y i^i A ) ) )
4822, 46, 47sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( w e. ( t ↾t A ) <-> E. y e. t w = ( y i^i A ) ) )
49 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = ( y i^i A ) -> ( x e. w <-> x e. ( y i^i A ) ) )
50 sseq1 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = ( y i^i A ) -> ( w C_ ( a i^i A ) <-> ( y i^i A ) C_ ( a i^i A ) ) )
5149, 50anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = ( y i^i A ) -> ( ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) <-> ( x e. ( y i^i A ) /\ ( y i^i A ) C_ ( a i^i A ) ) ) )
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) /\ w = ( y i^i A ) ) -> ( ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) <-> ( x e. ( y i^i A ) /\ ( y i^i A ) C_ ( a i^i A ) ) ) )
5345, 48, 52rexxfr2d 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) <-> E. y e. t ( x e. ( y i^i A ) /\ ( y i^i A ) C_ ( a i^i A ) ) ) )
5442, 53sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ ( a e. J /\ x e. A ) ) -> ( E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) ) )
5554expr 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ a e. J ) -> ( x e. A -> ( E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) ) ) )
5655com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ a e. J ) -> ( E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) -> ( x e. A -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) ) ) )
5756imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ a e. J ) -> ( ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) -> ( x e. a -> ( x e. A -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) ) ) ) )
5857imp4b 613 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ a e. J ) /\ ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) -> ( ( x e. a /\ x e. A ) -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) ) )
59 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( a i^i A ) -> ( x e. z <-> x e. ( a i^i A ) ) )
60 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( a i^i A ) <-> ( x e. a /\ x e. A ) )
6159, 60syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( a i^i A ) -> ( x e. z <-> ( x e. a /\ x e. A ) ) )
62 sseq2 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( a i^i A ) -> ( w C_ z <-> w C_ ( a i^i A ) ) )
6362anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( a i^i A ) -> ( ( x e. w /\ w C_ z ) <-> ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) ) )
6463rexbidv 3052 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( a i^i A ) -> ( E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) <-> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) ) )
6561, 64imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a i^i A ) -> ( ( x e. z -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) <-> ( ( x e. a /\ x e. A ) -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ ( a i^i A ) ) ) ) )
6658, 65syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ a e. J ) /\ ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) -> ( z = ( a i^i A ) -> ( x e. z -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
6766expimpd 629 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) /\ a e. J ) -> ( ( ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) /\ z = ( a i^i A ) ) -> ( x e. z -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
6867rexlimdva 3031 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) -> ( E. a e. J ( ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) /\ z = ( a i^i A ) ) -> ( x e. z -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
6933, 68syl5 34 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) -> ( ( A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) /\ E. a e. J z = ( a i^i A ) ) -> ( x e. z -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
7069expd 452 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ t e. ~P J ) -> ( A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) -> ( E. a e. J z = ( a i^i A ) -> ( x e. z -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )
7170impr 649 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) -> ( E. a e. J z = ( a i^i A ) -> ( x e. z -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
7271adantrrl 760 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> ( E. a e. J z = ( a i^i A ) -> ( x e. z -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
7332, 72sylbid 230 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> ( z e. ( J ↾t A ) -> ( x e. z -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
7473ralrimiv 2965 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> A. z e. ( J ↾t A ) ( x e. z -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) )
75 breq1 4656 . . . . . . . 8 |- ( y = ( t ↾t A ) -> ( y ~<_ om <-> ( t ↾t A ) ~<_ om ) )
76 rexeq 3139 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( t ↾t A ) -> ( E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) <-> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) )
7776imbi2d 330 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( t ↾t A ) -> ( ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) <-> ( x e. z -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
7877ralbidv 2986 . . . . . . . 8 |- ( y = ( t ↾t A ) -> ( A. z e. ( J ↾t A ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) <-> A. z e. ( J ↾t A ) ( x e. z -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
7975, 78anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( y = ( t ↾t A ) -> ( ( y ~<_ om /\ A. z e. ( J ↾t A ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) <-> ( ( t ↾t A ) ~<_ om /\ A. z e. ( J ↾t A ) ( x e. z -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )
8079rspcev 3309 . . . . . 6 |- ( ( ( t ↾t A ) e. ~P ( J ↾t A ) /\ ( ( t ↾t A ) ~<_ om /\ A. z e. ( J ↾t A ) ( x e. z -> E. w e. ( t ↾t A ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) -> E. y e. ~P ( J ↾t A ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( J ↾t A ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
8121, 29, 74, 80syl12anc 1324 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) /\ ( t e. ~P J /\ ( t ~<_ om /\ A. a e. J ( x e. a -> E. y e. t ( x e. y /\ y C_ a ) ) ) ) ) -> E. y e. ~P ( J ↾t A ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( J ↾t A ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
8213, 81rexlimddv 3035 . . . 4 |- ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. ( A i^i U. J ) ) -> E. y e. ~P ( J ↾t A ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( J ↾t A ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
838, 82syldan 487 . . 3 |- ( ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) /\ x e. U. ( J ↾t A ) ) -> E. y e. ~P ( J ↾t A ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( J ↾t A ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
8483ralrimiva 2966 . 2 |- ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) -> A. x e. U. ( J ↾t A ) E. y e. ~P ( J ↾t A ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( J ↾t A ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
85 eqid 2622 . . 3 |- U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t A )
8685is1stc2 21245 . 2 |- ( ( J ↾t A ) e. 1stc <-> ( ( J ↾t A ) e. Top /\ A. x e. U. ( J ↾t A ) E. y e. ~P ( J ↾t A ) ( y ~<_ om /\ A. z e. ( J ↾t A ) ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )
873, 84, 86sylanbrc 698 1 |- ( ( J e. 1stc /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. 1stc )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   ↾t crest 16081   Topctop 20698   1stcc1stc 21240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-card 8765  df-acn 8768  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-1stc 21242
This theorem is referenced by:  lly1stc  21299
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