Theorem lly1stc 21299

Description: First-countability is a local property (unlike second-countability). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lly1stc	|- Locally 1stc = 1stc

Proof of Theorem lly1stc

Dummy variables j a n t u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llytop 21275	. . . 4 |- ( j e. Locally 1stc -> j e. Top )
2		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) -> ( j ↾t u ) e. 1stc )
3		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) -> x e. u )
4	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) -> j e. Top )
5		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. j -> u C_ U. j )
6	5	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) -> u C_ U. j )
7		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- U. j = U. j
8	7	restuni 20966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. Top /\ u C_ U. j ) -> u = U. ( j ↾t u ) )
9	4, 6, 8	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) -> u = U. ( j ↾t u ) )
10	3, 9	eleqtrd 2703	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) -> x e. U. ( j ↾t u ) )
11		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. ( j ↾t u ) = U. ( j ↾t u )
12	11	1stcclb 21247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j ↾t u ) e. 1stc /\ x e. U. ( j ↾t u ) ) -> E. t e. ~P ( j ↾t u ) ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) )
13	2, 10, 12	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) -> E. t e. ~P ( j ↾t u ) ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) )
14		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. ~P ( j ↾t u ) -> t C_ ( j ↾t u ) )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) -> t C_ ( j ↾t u ) )
16	15	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) /\ n e. t ) -> n e. ( j ↾t u ) )
17	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) -> j e. Top )
18		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) -> u e. j )
19		restopn2 20981	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. Top /\ u e. j ) -> ( n e. ( j ↾t u ) <-> ( n e. j /\ n C_ u ) ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) -> ( n e. ( j ↾t u ) <-> ( n e. j /\ n C_ u ) ) )
21	20	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) /\ n e. ( j ↾t u ) ) -> n C_ u )
22	16, 21	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) /\ n e. t ) -> n C_ u )
23		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n C_ u <-> ( n i^i u ) = n )
24	22, 23	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) /\ n e. t ) -> ( n i^i u ) = n )
25	20	simprbda 653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) /\ n e. ( j ↾t u ) ) -> n e. j )
26	16, 25	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) /\ n e. t ) -> n e. j )
27	24, 26	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) /\ n e. t ) -> ( n i^i u ) e. j )
28		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = n -> ( a i^i u ) = ( n i^i u ) )
29	28	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) = ( n e. t |-> ( n i^i u ) )
30	27, 29	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) -> ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) : t --> j )
31		frn 6053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) : t --> j -> ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) C_ j )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) -> ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) C_ j )
33	32	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) -> ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) C_ j )
34		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- j e. _V
35	34	elpw2 4828	. . . . . . . . . 10 |- ( ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) e. ~P j <-> ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) C_ j )
36	33, 35	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) -> ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) e. ~P j )
37		simprrl 804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) -> t ~<_ om )
38		1stcrestlem 21255	. . . . . . . . . 10 |- ( t ~<_ om -> ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ~<_ om )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) -> ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ~<_ om )
40	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) /\ ( z e. j /\ x e. z ) ) -> j e. Top )
41		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) -> u e. j )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) /\ ( z e. j /\ x e. z ) ) -> u e. j )
43		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) /\ ( z e. j /\ x e. z ) ) -> z e. j )
44		elrestr 16089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. Top /\ u e. j /\ z e. j ) -> ( z i^i u ) e. ( j ↾t u ) )
45	40, 42, 43, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) /\ ( z e. j /\ x e. z ) ) -> ( z i^i u ) e. ( j ↾t u ) )
46		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) -> A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) /\ ( z e. j /\ x e. z ) ) -> A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) )
48		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) /\ ( z e. j /\ x e. z ) ) -> x e. z )
49	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) /\ ( z e. j /\ x e. z ) ) -> x e. u )
50	48, 49	elind 3798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) /\ ( z e. j /\ x e. z ) ) -> x e. ( z i^i u ) )
51		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = ( z i^i u ) -> ( x e. v <-> x e. ( z i^i u ) ) )
52		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = ( z i^i u ) -> ( n C_ v <-> n C_ ( z i^i u ) ) )
53	52	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = ( z i^i u ) -> ( ( x e. n /\ n C_ v ) <-> ( x e. n /\ n C_ ( z i^i u ) ) ) )
54	53	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = ( z i^i u ) -> ( E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) <-> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ ( z i^i u ) ) ) )
55	51, 54	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ( z i^i u ) -> ( ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) <-> ( x e. ( z i^i u ) -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ ( z i^i u ) ) ) ) )
56	55	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z i^i u ) e. ( j ↾t u ) -> ( A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) -> ( x e. ( z i^i u ) -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ ( z i^i u ) ) ) ) )
57	45, 47, 50, 56	syl3c 66	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) /\ ( z e. j /\ x e. z ) ) -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ ( z i^i u ) ) )
58	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) /\ n e. t ) -> x e. u )
59		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( n i^i u ) <-> ( x e. n /\ x e. u ) )
60	59	simplbi2com 657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. u -> ( x e. n -> x e. ( n i^i u ) ) )
61	58, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) /\ n e. t ) -> ( x e. n -> x e. ( n i^i u ) ) )
62	22	biantrud 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) /\ n e. t ) -> ( n C_ z <-> ( n C_ z /\ n C_ u ) ) )
63		ssin 3835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n C_ z /\ n C_ u ) <-> n C_ ( z i^i u ) )
64	62, 63	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) /\ n e. t ) -> ( n C_ z <-> n C_ ( z i^i u ) ) )
65		ssinss1 3841	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n C_ z -> ( n i^i u ) C_ z )
66	64, 65	syl6bir 244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) /\ n e. t ) -> ( n C_ ( z i^i u ) -> ( n i^i u ) C_ z ) )
67	61, 66	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) /\ n e. t ) -> ( ( x e. n /\ n C_ ( z i^i u ) ) -> ( x e. ( n i^i u ) /\ ( n i^i u ) C_ z ) ) )
68	67	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) -> ( E. n e. t ( x e. n /\ n C_ ( z i^i u ) ) -> E. n e. t ( x e. ( n i^i u ) /\ ( n i^i u ) C_ z ) ) )
69		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- n e. _V
70	69	inex1 4799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n i^i u ) e. _V
71	70	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A. n e. t ( n i^i u ) e. _V
72		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = ( n i^i u ) -> ( x e. w <-> x e. ( n i^i u ) ) )
73		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = ( n i^i u ) -> ( w C_ z <-> ( n i^i u ) C_ z ) )
74	72, 73	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( n i^i u ) -> ( ( x e. w /\ w C_ z ) <-> ( x e. ( n i^i u ) /\ ( n i^i u ) C_ z ) ) )
75	29, 74	rexrnmpt 6369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. n e. t ( n i^i u ) e. _V -> ( E. w e. ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) <-> E. n e. t ( x e. ( n i^i u ) /\ ( n i^i u ) C_ z ) ) )
76	71, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. w e. ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) <-> E. n e. t ( x e. ( n i^i u ) /\ ( n i^i u ) C_ z ) )
77	68, 76	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ t e. ~P ( j ↾t u ) ) -> ( E. n e. t ( x e. n /\ n C_ ( z i^i u ) ) -> E. w e. ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) )
78	77	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) -> ( E. n e. t ( x e. n /\ n C_ ( z i^i u ) ) -> E. w e. ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) /\ ( z e. j /\ x e. z ) ) -> ( E. n e. t ( x e. n /\ n C_ ( z i^i u ) ) -> E. w e. ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) )
80	57, 79	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) /\ ( z e. j /\ x e. z ) ) -> E. w e. ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) )
81	80	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) /\ z e. j ) -> ( x e. z -> E. w e. ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) )
82	81	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) -> A. z e. j ( x e. z -> E. w e. ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) )
83		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) -> ( y ~<_ om <-> ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ~<_ om ) )
84		rexeq 3139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) -> ( E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) <-> E. w e. ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) )
85	84	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) -> ( ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) <-> ( x e. z -> E. w e. ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
86	85	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) -> ( A. z e. j ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) <-> A. z e. j ( x e. z -> E. w e. ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
87	83, 86	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) -> ( ( y ~<_ om /\ A. z e. j ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) <-> ( ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ~<_ om /\ A. z e. j ( x e. z -> E. w e. ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )
88	87	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) e. ~P j /\ ( ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ~<_ om /\ A. z e. j ( x e. z -> E. w e. ran ( a e. t |-> ( a i^i u ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) -> E. y e. ~P j ( y ~<_ om /\ A. z e. j ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
89	36, 39, 82, 88	syl12anc 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) /\ ( t e. ~P ( j ↾t u ) /\ ( t ~<_ om /\ A. v e. ( j ↾t u ) ( x e. v -> E. n e. t ( x e. n /\ n C_ v ) ) ) ) ) -> E. y e. ~P j ( y ~<_ om /\ A. z e. j ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
90	13, 89	rexlimddv 3035	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) -> E. y e. ~P j ( y ~<_ om /\ A. z e. j ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
91	90	3adantr1 1220	. . . . . 6 |- ( ( ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) /\ u e. j ) /\ ( u C_ U. j /\ x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) ) -> E. y e. ~P j ( y ~<_ om /\ A. z e. j ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
92		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) -> j e. Locally 1stc )
93	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) -> j e. Top )
94	7	topopn 20711	. . . . . . . 8 |- ( j e. Top -> U. j e. j )
95	93, 94	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) -> U. j e. j )
96		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) -> x e. U. j )
97		llyi 21277	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Locally 1stc /\ U. j e. j /\ x e. U. j ) -> E. u e. j ( u C_ U. j /\ x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) )
98	92, 95, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) -> E. u e. j ( u C_ U. j /\ x e. u /\ ( j ↾t u ) e. 1stc ) )
99	91, 98	r19.29a 3078	. . . . 5 |- ( ( j e. Locally 1stc /\ x e. U. j ) -> E. y e. ~P j ( y ~<_ om /\ A. z e. j ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
100	99	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( j e. Locally 1stc -> A. x e. U. j E. y e. ~P j ( y ~<_ om /\ A. z e. j ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) )
101	7	is1stc2 21245	. . . 4 |- ( j e. 1stc <-> ( j e. Top /\ A. x e. U. j E. y e. ~P j ( y ~<_ om /\ A. z e. j ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) )
102	1, 100, 101	sylanbrc 698	. . 3 |- ( j e. Locally 1stc -> j e. 1stc )
103	102	ssriv 3607	. 2 |- Locally 1stc C_ 1stc
104		1stcrest 21256	. . . . 5 |- ( ( j e. 1stc /\ x e. j ) -> ( j ↾t x ) e. 1stc )
105	104	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( j e. 1stc /\ x e. j ) ) -> ( j ↾t x ) e. 1stc )
106		1stctop 21246	. . . . . 6 |- ( j e. 1stc -> j e. Top )
107	106	ssriv 3607	. . . . 5 |- 1stc C_ Top
108	107	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> 1stc C_ Top )
109	105, 108	restlly 21286	. . 3 |- ( T. -> 1stc C_ Locally 1stc )
110	109	trud 1493	. 2 |- 1stc C_ Locally 1stc
111	103, 110	eqssi 3619	1 |- Locally 1stc = 1stc

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   ↾_t crest 16081   Topctop 20698   1stcc1stc 21240  Locally clly 21267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-card 8765  df-acn 8768  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-1stc 21242  df-lly 21269

This theorem is referenced by:  dis1stc  21302