Theorem 2reu2 41187

Description: Double restricted existential uniqueness, analogous to 2eu2 2554. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu2	|- ( E! y e. B E. x e. A ph -> ( E! x e. A E! y e. B ph <-> E! x e. A E. y e. B ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( y)

Proof of Theorem 2reu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reurmo 3161	. . 3 |- ( E! y e. B E. x e. A ph -> E* y e. B E. x e. A ph )
2		2rmorex 3412	. . 3 |- ( E* y e. B E. x e. A ph -> A. x e. A E* y e. B ph )
3		2reu1 41186	. . . 4 |- ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E! x e. A E! y e. B ph <-> ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) ) )
4		simpl 473	. . . 4 |- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) -> E! x e. A E. y e. B ph )
5	3, 4	syl6bi 243	. . 3 |- ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E! x e. A E! y e. B ph -> E! x e. A E. y e. B ph ) )
6	1, 2, 5	3syl 18	. 2 |- ( E! y e. B E. x e. A ph -> ( E! x e. A E! y e. B ph -> E! x e. A E. y e. B ph ) )
7		2rexreu 41185	. . 3 |- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) -> E! x e. A E! y e. B ph )
8	7	expcom 451	. 2 |- ( E! y e. B E. x e. A ph -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! x e. A E! y e. B ph ) )
9	6, 8	impbid 202	1 |- ( E! y e. B E. x e. A ph -> ( E! x e. A E! y e. B ph <-> E! x e. A E. y e. B ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   E*wrmo 2915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920

This theorem is referenced by:  2reu8  41192