Theorem 2reu8 41192

Description: Two equivalent expressions for double restricted existential uniqueness, analogous to 2eu8 2560. Curiously, we can put E! on either of the internal conjuncts but not both. We can also commute E! x e. A E! y e. B using 2reu7 41191. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu8	|- ( E! x e. A E! y e. B ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> E! x e. A E! y e. B ( E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem 2reu8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2reu2 41187	. . 3 |- ( E! x e. A E. y e. B ph -> ( E! y e. B E! x e. A ph <-> E! y e. B E. x e. A ph ) )
2	1	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E! x e. A ph ) <-> ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) )
3		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x B
4		nfreu1 3110	. . . . 5 |- F/ x E! x e. A ph
5	3, 4	nfreu 3114	. . . 4 |- F/ x E! y e. B E! x e. A ph
6	5	reuan 41180	. . 3 |- ( E! x e. A ( E! y e. B E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> ( E! y e. B E! x e. A ph /\ E! x e. A E. y e. B ph ) )
7		ancom 466	. . . . . 6 |- ( ( E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> ( E. y e. B ph /\ E! x e. A ph ) )
8	7	reubii 3128	. . . . 5 |- ( E! y e. B ( E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> E! y e. B ( E. y e. B ph /\ E! x e. A ph ) )
9		nfre1 3005	. . . . . 6 |- F/ y E. y e. B ph
10	9	reuan 41180	. . . . 5 |- ( E! y e. B ( E. y e. B ph /\ E! x e. A ph ) <-> ( E. y e. B ph /\ E! y e. B E! x e. A ph ) )
11		ancom 466	. . . . 5 |- ( ( E. y e. B ph /\ E! y e. B E! x e. A ph ) <-> ( E! y e. B E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )
12	8, 10, 11	3bitri 286	. . . 4 |- ( E! y e. B ( E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> ( E! y e. B E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )
13	12	reubii 3128	. . 3 |- ( E! x e. A E! y e. B ( E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> E! x e. A ( E! y e. B E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )
14		ancom 466	. . 3 |- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E! x e. A ph ) <-> ( E! y e. B E! x e. A ph /\ E! x e. A E. y e. B ph ) )
15	6, 13, 14	3bitr4ri 293	. 2 |- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E! x e. A ph ) <-> E! x e. A E! y e. B ( E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )
16		2reu7 41191	. 2 |- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) <-> E! x e. A E! y e. B ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )
17	2, 15, 16	3bitr3ri 291	1 |- ( E! x e. A E! y e. B ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> E! x e. A E! y e. B ( E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   E.wrex 2913   E!wreu 2914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920

This theorem is referenced by: (None)