Theorem 2reu4 41190

Description: Definition of double restricted existential uniqueness ("exactly one x and exactly one y"), analogous to 2eu4 2556. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu4	|- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) <-> ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. z e. A E. w e. B A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, w, ph   x, w, y, A, z   w, B, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem 2reu4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reurex 3160	. . . 4 |- ( E! x e. A E. y e. B ph -> E. x e. A E. y e. B ph )
2		rexn0 4074	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y e. B ph -> A =/= (/) )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( E! x e. A E. y e. B ph -> A =/= (/) )
4		reurex 3160	. . . 4 |- ( E! y e. B E. x e. A ph -> E. y e. B E. x e. A ph )
5		rexn0 4074	. . . 4 |- ( E. y e. B E. x e. A ph -> B =/= (/) )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( E! y e. B E. x e. A ph -> B =/= (/) )
7	3, 6	anim12i 590	. 2 |- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) -> ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) )
8		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( x e. A -> A =/= (/) )
9		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( y e. B -> B =/= (/) )
10	8, 9	anim12i 590	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) )
11	10	a1d 25	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( ph -> ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) ) )
12	11	rexlimivv 3036	. . 3 |- ( E. x e. A E. y e. B ph -> ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) )
13	12	adantr 481	. 2 |- ( ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. z e. A E. w e. B A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) -> ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) )
14		2reu4a 41189	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) -> ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) <-> ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. z e. A E. w e. B A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) ) )
15	7, 13, 14	pm5.21nii 368	1 |- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) <-> ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. z e. A E. w e. B A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   (/)c0 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-v 3202  df-dif 3577  df-nul 3916

This theorem is referenced by: (None)