Theorem 2reu7 41191

Description: Two equivalent expressions for double restricted existential uniqueness, analogous to 2eu7 2559. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu7	|- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) <-> E! x e. A E! y e. B ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( y)

Proof of Theorem 2reu7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ x B
2		nfre1 3005	. . . 4 |- F/ x E. x e. A ph
3	1, 2	nfreu 3114	. . 3 |- F/ x E! y e. B E. x e. A ph
4	3	reuan 41180	. 2 |- ( E! x e. A ( E! y e. B E. x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> ( E! y e. B E. x e. A ph /\ E! x e. A E. y e. B ph ) )
5		ancom 466	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> ( E. y e. B ph /\ E. x e. A ph ) )
6	5	reubii 3128	. . . 4 |- ( E! y e. B ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> E! y e. B ( E. y e. B ph /\ E. x e. A ph ) )
7		nfre1 3005	. . . . 5 |- F/ y E. y e. B ph
8	7	reuan 41180	. . . 4 |- ( E! y e. B ( E. y e. B ph /\ E. x e. A ph ) <-> ( E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) )
9		ancom 466	. . . 4 |- ( ( E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) <-> ( E! y e. B E. x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )
10	6, 8, 9	3bitri 286	. . 3 |- ( E! y e. B ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> ( E! y e. B E. x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )
11	10	reubii 3128	. 2 |- ( E! x e. A E! y e. B ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> E! x e. A ( E! y e. B E. x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )
12		ancom 466	. 2 |- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) <-> ( E! y e. B E. x e. A ph /\ E! x e. A E. y e. B ph ) )
13	4, 11, 12	3bitr4ri 293	1 |- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) <-> E! x e. A E! y e. B ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   E.wrex 2913   E!wreu 2914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-eu 2474  df-mo 2475  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920

This theorem is referenced by:  2reu8  41192