Theorem 2reu5 3416

Description: Double restricted existential uniqueness in terms of restricted existential quantification and restricted universal quantification, analogous to 2eu5 2557 and reu3 3396. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu5	|- ( ( E! x e. A E! y e. B ph /\ A. x e. A E* y e. B ph ) <-> ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. z e. A E. w e. B A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, w, z, A, x   w, B   x, z, B, y   ph, w, z   x, A   y, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem 2reu5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.29r 3073	. . . . . . . 8 |- ( ( E. x e. A E. y e. B ph /\ A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) -> E. x e. A ( E. y e. B ph /\ A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
2		r19.29r 3073	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. y e. B ph /\ A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) -> E. y e. B ( ph /\ ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
3	2	reximi 3011	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A ( E. y e. B ph /\ A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) -> E. x e. A E. y e. B ( ph /\ ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
4		pm3.35 611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) -> ( x = z /\ y = w ) )
5	4	reximi 3011	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. B ( ph /\ ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) -> E. y e. B ( x = z /\ y = w ) )
6	5	reximi 3011	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A E. y e. B ( ph /\ ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) -> E. x e. A E. y e. B ( x = z /\ y = w ) )
7		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
8		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( y e. B <-> w e. B ) )
9	7, 8	bi2anan9 917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) <-> ( z e. A /\ w e. B ) ) )
10	9	biimpac 503	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( x = z /\ y = w ) ) -> ( z e. A /\ w e. B ) )
11	10	ancomd 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( x = z /\ y = w ) ) -> ( w e. B /\ z e. A ) )
12	11	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( ( x = z /\ y = w ) -> ( w e. B /\ z e. A ) ) )
13	12	rexlimivv 3036	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A E. y e. B ( x = z /\ y = w ) -> ( w e. B /\ z e. A ) )
14	1, 3, 6, 13	4syl 19	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. A E. y e. B ph /\ A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) -> ( w e. B /\ z e. A ) )
15	14	ex 450	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. y e. B ph -> ( A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) -> ( w e. B /\ z e. A ) ) )
16	15	pm4.71rd 667	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y e. B ph -> ( A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> ( ( w e. B /\ z e. A ) /\ A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) ) )
17		anass 681	. . . . 5 |- ( ( ( w e. B /\ z e. A ) /\ A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) <-> ( w e. B /\ ( z e. A /\ A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) ) )
18	16, 17	syl6bb 276	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y e. B ph -> ( A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> ( w e. B /\ ( z e. A /\ A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) ) ) )
19	18	2exbidv 1852	. . 3 |- ( E. x e. A E. y e. B ph -> ( E. z E. w A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> E. z E. w ( w e. B /\ ( z e. A /\ A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) ) ) )
20	19	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. z E. w A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) <-> ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. z E. w ( w e. B /\ ( z e. A /\ A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) ) ) )
21		2reu5lem3 3415	. 2 |- ( ( E! x e. A E! y e. B ph /\ A. x e. A E* y e. B ph ) <-> ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. z E. w A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
22		df-rex 2918	. . . 4 |- ( E. z e. A E. w e. B A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> E. z ( z e. A /\ E. w e. B A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
23		r19.42v 3092	. . . . . 6 |- ( E. w e. B ( z e. A /\ A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) <-> ( z e. A /\ E. w e. B A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
24		df-rex 2918	. . . . . 6 |- ( E. w e. B ( z e. A /\ A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) <-> E. w ( w e. B /\ ( z e. A /\ A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) ) )
25	23, 24	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( ( z e. A /\ E. w e. B A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) <-> E. w ( w e. B /\ ( z e. A /\ A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) ) )
26	25	exbii 1774	. . . 4 |- ( E. z ( z e. A /\ E. w e. B A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) <-> E. z E. w ( w e. B /\ ( z e. A /\ A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) ) )
27	22, 26	bitri 264	. . 3 |- ( E. z e. A E. w e. B A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> E. z E. w ( w e. B /\ ( z e. A /\ A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) ) )
28	27	anbi2i 730	. 2 |- ( ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. z e. A E. w e. B A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) <-> ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. z E. w ( w e. B /\ ( z e. A /\ A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) ) ) )
29	20, 21, 28	3bitr4i 292	1 |- ( ( E! x e. A E! y e. B ph /\ A. x e. A E* y e. B ph ) <-> ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. z e. A E. w e. B A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   E*wrmo 2915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-eu 2474  df-mo 2475  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920

This theorem is referenced by: (None)