Theorem 2reu5lem3 3415

Description: Lemma for 2reu5 3416. This lemma is interesting in its own right, showing that existential restriction in the last conjunct (the "at most one" part) is optional; compare rmo2 3526. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu5lem3	|- ( ( E! x e. A E! y e. B ph /\ A. x e. A E* y e. B ph ) <-> ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. z E. w A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, w, z, A   x, w, B, z   x, y   ph, w, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem 2reu5lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2reu5lem1 3413	. . 3 |- ( E! x e. A E! y e. B ph <-> E! x E! y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
2		2reu5lem2 3414	. . 3 |- ( A. x e. A E* y e. B ph <-> A. x E* y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
3	1, 2	anbi12i 733	. 2 |- ( ( E! x e. A E! y e. B ph /\ A. x e. A E* y e. B ph ) <-> ( E! x E! y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) /\ A. x E* y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) ) )
4		2eu5 2557	. 2 |- ( ( E! x E! y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) /\ A. x E* y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) ) <-> ( E. x E. y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) /\ E. z E. w A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
5		3anass 1042	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
6	5	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) <-> E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
7		19.42v 1918	. . . . . 6 |- ( E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
8		df-rex 2918	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B ph <-> E. y ( y e. B /\ ph ) )
9	8	bicomi 214	. . . . . . 7 |- ( E. y ( y e. B /\ ph ) <-> E. y e. B ph )
10	9	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ E. y ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
11	6, 7, 10	3bitri 286	. . . . 5 |- ( E. y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) <-> ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
12	11	exbii 1774	. . . 4 |- ( E. x E. y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) <-> E. x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
13		df-rex 2918	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
14	12, 13	bitr4i 267	. . 3 |- ( E. x E. y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) <-> E. x e. A E. y e. B ph )
15		3anan12 1051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) <-> ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
16	15	imbi1i 339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> ( ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) -> ( x = z /\ y = w ) ) )
17		impexp 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> ( y e. B -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
18		impexp 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> ( x e. A -> ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
19	18	imbi2i 326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. B -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) ) <-> ( y e. B -> ( x e. A -> ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) ) )
20	16, 17, 19	3bitri 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> ( y e. B -> ( x e. A -> ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) ) )
21	20	albii 1747	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> A. y ( y e. B -> ( x e. A -> ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) ) )
22		df-ral 2917	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B ( x e. A -> ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) <-> A. y ( y e. B -> ( x e. A -> ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) ) )
23		r19.21v 2960	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B ( x e. A -> ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) <-> ( x e. A -> A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr2i 288	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> ( x e. A -> A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
25	24	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
26		df-ral 2917	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
27	25, 26	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) )
28	27	exbii 1774	. . . 4 |- ( E. w A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> E. w A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) )
29	28	exbii 1774	. . 3 |- ( E. z E. w A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> E. z E. w A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) )
30	14, 29	anbi12i 733	. 2 |- ( ( E. x E. y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) /\ E. z E. w A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) ) <-> ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. z E. w A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
31	3, 4, 30	3bitri 286	1 |- ( ( E! x e. A E! y e. B ph /\ A. x e. A E* y e. B ph ) <-> ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. z E. w A. x e. A A. y e. B ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   E*wmo 2471   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   E*wrmo 2915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-eu 2474  df-mo 2475  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920

This theorem is referenced by:  2reu5  3416