Theorem reu3 3396

Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
reu3	|- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reu3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reurex 3160	. . 3 |- ( E! x e. A ph -> E. x e. A ph )
2		reu6 3395	. . . 4 |- ( E! x e. A ph <-> E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) )
3		biimp 205	. . . . . 6 |- ( ( ph <-> x = y ) -> ( ph -> x = y ) )
4	3	ralimi 2952	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( ph <-> x = y ) -> A. x e. A ( ph -> x = y ) )
5	4	reximi 3011	. . . 4 |- ( E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) -> E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) )
6	2, 5	sylbi 207	. . 3 |- ( E! x e. A ph -> E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) )
7	1, 6	jca 554	. 2 |- ( E! x e. A ph -> ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )
8		rexex 3002	. . . 4 |- ( E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) -> E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) )
9	8	anim2i 593	. . 3 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) -> ( E. x e. A ph /\ E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )
10		eu3v 2498	. . . 4 |- ( E! x ( x e. A /\ ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) ) )
11		df-reu 2919	. . . 4 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
12		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
13		df-ral 2917	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( ph -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
14		impexp 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
15	14	albii 1747	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
16	13, 15	bitr4i 267	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( ph -> x = y ) <-> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) )
17	16	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) <-> E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) )
18	12, 17	anbi12i 733	. . . 4 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) ) )
19	10, 11, 18	3bitr4i 292	. . 3 |- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )
20	9, 19	sylibr 224	. 2 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) -> E! x e. A ph )
21	7, 20	impbii 199	1 |- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920

This theorem is referenced by:  reu7  3401  2reu4a  41189