Theorem 2reu5lem2 3414

Description: Lemma for 2reu5 3416. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu5lem2	|- ( A. x e. A E* y e. B ph <-> A. x E* y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )

Distinct variable groups:   y, A   x, B   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem 2reu5lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rmo 2920	. . 3 |- ( E* y e. B ph <-> E* y ( y e. B /\ ph ) )
2	1	ralbii 2980	. 2 |- ( A. x e. A E* y e. B ph <-> A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) )
3		df-ral 2917	. . 3 |- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
4		moanimv 2531	. . . . . 6 |- ( E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
5	4	bicomi 214	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) <-> E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
6		3anass 1042	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
7	6	bicomi 214	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
8	7	mobii 2493	. . . . 5 |- ( E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> E* y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
9	5, 8	bitri 264	. . . 4 |- ( ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) <-> E* y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
10	9	albii 1747	. . 3 |- ( A. x ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) <-> A. x E* y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
11	3, 10	bitri 264	. 2 |- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x E* y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
12	2, 11	bitri 264	1 |- ( A. x e. A E* y e. B ph <-> A. x E* y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   e. wcel 1990   E*wmo 2471   A.wral 2912   E*wrmo 2915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-12 2047

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-eu 2474  df-mo 2475  df-ral 2917  df-rmo 2920

This theorem is referenced by:  2reu5lem3  3415