Theorem 2reu5lem1 3413

Description: Lemma for 2reu5 3416. Note that E! x e. A E! y e. B ph does not mean "there is exactly one x in A and exactly one y in B such that ph holds;" see comment for 2eu5 2557. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu5lem1	|- ( E! x e. A E! y e. B ph <-> E! x E! y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )

Distinct variable groups:   y, A   x, B   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem 2reu5lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-reu 2919	. . 3 |- ( E! y e. B ph <-> E! y ( y e. B /\ ph ) )
2	1	reubii 3128	. 2 |- ( E! x e. A E! y e. B ph <-> E! x e. A E! y ( y e. B /\ ph ) )
3		df-reu 2919	. . 3 |- ( E! x e. A E! y ( y e. B /\ ph ) <-> E! x ( x e. A /\ E! y ( y e. B /\ ph ) ) )
4		euanv 2534	. . . . . 6 |- ( E! y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ E! y ( y e. B /\ ph ) ) )
5	4	bicomi 214	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ E! y ( y e. B /\ ph ) ) <-> E! y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
6		3anass 1042	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
7	6	bicomi 214	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
8	7	eubii 2492	. . . . 5 |- ( E! y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> E! y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
9	5, 8	bitri 264	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ E! y ( y e. B /\ ph ) ) <-> E! y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
10	9	eubii 2492	. . 3 |- ( E! x ( x e. A /\ E! y ( y e. B /\ ph ) ) <-> E! x E! y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
11	3, 10	bitri 264	. 2 |- ( E! x e. A E! y ( y e. B /\ ph ) <-> E! x E! y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
12	2, 11	bitri 264	1 |- ( E! x e. A E! y e. B ph <-> E! x E! y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   E!weu 2470   E!wreu 2914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-12 2047

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-eu 2474  df-reu 2919

This theorem is referenced by:  2reu5lem3  3415