Theorem 2reuswap2 29328

Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reuswap2	|- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( y)

Proof of Theorem 2reuswap2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2917	. . 3 |- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
2		moanimv 2531	. . . 4 |- ( E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
3	2	albii 1747	. . 3 |- ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> A. x ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
4	1, 3	bitr4i 267	. 2 |- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
5		2euswap 2548	. . 3 |- ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( E! x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) ) )
6		df-reu 2919	. . . 4 |- ( E! x e. A E. y e. B ph <-> E! x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
7		r19.42v 3092	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
8		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ( x e. A /\ ph ) <-> E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
9	7, 8	bitr3i 266	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
10		an12 838	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
11	10	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
12	9, 11	bitri 264	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
13	12	eubii 2492	. . . 4 |- ( E! x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E! x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
14	6, 13	bitri 264	. . 3 |- ( E! x e. A E. y e. B ph <-> E! x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
15		df-reu 2919	. . . 4 |- ( E! y e. B E. x e. A ph <-> E! y ( y e. B /\ E. x e. A ph ) )
16		r19.42v 3092	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ ph ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A ph ) )
17		df-rex 2918	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ ph ) <-> E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
18	16, 17	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ E. x e. A ph ) <-> E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
19	18	eubii 2492	. . . 4 |- ( E! y ( y e. B /\ E. x e. A ph ) <-> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
20	15, 19	bitri 264	. . 3 |- ( E! y e. B E. x e. A ph <-> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
21	5, 14, 20	3imtr4g 285	. 2 |- ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) )
22	4, 21	sylbi 207	1 |- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   E*wmo 2471   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-eu 2474  df-mo 2475  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919

This theorem is referenced by:  reuxfr3d  29329