MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvfval Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem abvfval 18818
Description: Value of the set of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvfval.a |- A = (AbsVal ` R )
abvfval.b |- B = ( Base ` R )
abvfval.p |- .+ = ( +g ` R )
abvfval.t |- .x. = ( .r ` R )
abvfval.z |- .0. = ( 0g ` R )
Assertion
Ref Expression
abvfval |- ( R e. Ring -> A = { f e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m B ) | A. x e. B ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) } )
Distinct variable groups:   x, f, y, B   .+ , f   R, f, x, y   .x. , f   .0. , f
Allowed substitution hints:   A( x, y, f)   .+ ( x, y)   .x. ( x, y)   .0. ( x, y)
Proof of Theorem abvfval
Dummy variable r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvfval.a . 2 |- A = (AbsVal ` R )
2 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = ( Base ` R ) )
3 abvfval.b . . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
42, 3syl6eqr 2674 . . . . 5 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = B )
54oveq2d 6666 . . . 4 |- ( r = R -> ( ( 0 [,) +oo ) ^m ( Base ` r ) ) = ( ( 0 [,) +oo ) ^m B ) )
6 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = ( 0g ` R ) )
7 abvfval.z . . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` R )
86, 7syl6eqr 2674 . . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = .0. )
98eqeq2d 2632 . . . . . . 7 |- ( r = R -> ( x = ( 0g ` r ) <-> x = .0. ) )
109bibi2d 332 . . . . . 6 |- ( r = R -> ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` r ) ) <-> ( ( f ` x ) = 0 <-> x = .0. ) ) )
11 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
12 abvfval.t . . . . . . . . . . . 12 |- .x. = ( .r ` R )
1311, 12syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . 11 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = .x. )
1413oveqd 6667 . . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( x ( .r ` r ) y ) = ( x .x. y ) )
1514fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( f ` ( x .x. y ) ) )
1615eqeq1d 2624 . . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) ) )
17 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( r = R -> ( +g ` r ) = ( +g ` R ) )
18 abvfval.p . . . . . . . . . . . 12 |- .+ = ( +g ` R )
1917, 18syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . 11 |- ( r = R -> ( +g ` r ) = .+ )
2019oveqd 6667 . . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( x ( +g ` r ) y ) = ( x .+ y ) )
2120fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( f ` ( x .+ y ) ) )
2221breq1d 4663 . . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) )
2316, 22anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ( ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) <-> ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) )
244, 23raleqbidv 3152 . . . . . 6 |- ( r = R -> ( A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) <-> A. y e. B ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) )
2510, 24anbi12d 747 . . . . 5 |- ( r = R -> ( ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` r ) ) /\ A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) )
264, 25raleqbidv 3152 . . . 4 |- ( r = R -> ( A. x e. ( Base ` r ) ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` r ) ) /\ A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) <-> A. x e. B ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) )
275, 26rabeqbidv 3195 . . 3 |- ( r = R -> { f e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` r ) ) /\ A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) } = { f e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m B ) | A. x e. B ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) } )
28 df-abv 18817 . . 3 |- AbsVal = ( r e. Ring |-> { f e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` r ) ) /\ A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) } )
29 ovex 6678 . . . 4 |- ( ( 0 [,) +oo ) ^m B ) e. _V
3029rabex 4813 . . 3 |- { f e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m B ) | A. x e. B ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) } e. _V
3127, 28, 30fvmpt 6282 . 2 |- ( R e. Ring -> (AbsVal ` R ) = { f e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m B ) | A. x e. B ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) } )
321, 31syl5eq 2668 1 |- ( R e. Ring -> A = { f e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m B ) | A. x e. B ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,)cico 12177   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Ringcrg 18547  AbsValcabv 18816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-abv 18817
This theorem is referenced by:  isabv  18819
  Copyright terms: Public domain W3C validator