MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isabv Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem isabv 18819
Description: Elementhood in the set of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvfval.a |- A = (AbsVal ` R )
abvfval.b |- B = ( Base ` R )
abvfval.p |- .+ = ( +g ` R )
abvfval.t |- .x. = ( .r ` R )
abvfval.z |- .0. = ( 0g ` R )
Assertion
Ref Expression
isabv |- ( R e. Ring -> ( F e. A <-> ( F : B --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. B ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, B   x, F, y   x, R, y
Allowed substitution hints:   A( x, y)   .+ ( x, y)   .x. ( x, y)   .0. ( x, y)
Proof of Theorem isabv
Dummy variable f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvfval.a . . . 4 |- A = (AbsVal ` R )
2 abvfval.b . . . 4 |- B = ( Base ` R )
3 abvfval.p . . . 4 |- .+ = ( +g ` R )
4 abvfval.t . . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
5 abvfval.z . . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
61, 2, 3, 4, 5abvfval 18818 . . 3 |- ( R e. Ring -> A = { f e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m B ) | A. x e. B ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) } )
76eleq2d 2687 . 2 |- ( R e. Ring -> ( F e. A <-> F e. { f e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m B ) | A. x e. B ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) } ) )
8 fveq1 6190 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
98eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) = 0 <-> ( F ` x ) = 0 ) )
109bibi1d 333 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = .0. ) <-> ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) ) )
11 fveq1 6190 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` ( x .x. y ) ) = ( F ` ( x .x. y ) ) )
12 fveq1 6190 . . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f ` y ) = ( F ` y ) )
138, 12oveq12d 6668 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) )
1411, 13eqeq12d 2637 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) <-> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) ) )
15 fveq1 6190 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` ( x .+ y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
168, 12oveq12d 6668 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
1715, 16breq12d 4666 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) <-> ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) )
1814, 17anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) <-> ( ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) )
1918ralbidv 2986 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( A. y e. B ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) <-> A. y e. B ( ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) )
2010, 19anbi12d 747 . . . . 5 |- ( f = F -> ( ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) ) )
2120ralbidv 2986 . . . 4 |- ( f = F -> ( A. x e. B ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) <-> A. x e. B ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) ) )
2221elrab 3363 . . 3 |- ( F e. { f e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m B ) | A. x e. B ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) } <-> ( F e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m B ) /\ A. x e. B ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) ) )
23 ovex 6678 . . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) e. _V
24 fvex 6201 . . . . . 6 |- ( Base ` R ) e. _V
252, 24eqeltri 2697 . . . . 5 |- B e. _V
2623, 25elmap 7886 . . . 4 |- ( F e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m B ) <-> F : B --> ( 0 [,) +oo ) )
2726anbi1i 731 . . 3 |- ( ( F e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m B ) /\ A. x e. B ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) ) <-> ( F : B --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. B ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) ) )
2822, 27bitri 264 . 2 |- ( F e. { f e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m B ) | A. x e. B ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) } <-> ( F : B --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. B ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) ) )
297, 28syl6bb 276 1 |- ( R e. Ring -> ( F e. A <-> ( F : B --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. B ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. B ( ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,)cico 12177   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Ringcrg 18547  AbsValcabv 18816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-abv 18817
This theorem is referenced by:  isabvd  18820  abvfge0  18822  abveq0  18826  abvmul  18829  abvtri  18830  abvpropd  18842
  Copyright terms: Public domain W3C validator