Theorem ax6e2ndVD 39144

Description: The following User's Proof is a Virtual Deduction proof (see wvd1 38785) completed automatically by a Metamath tools program invoking mmj2 and the Metamath Proof Assistant. ax6e2nd 38774 is ax6e2ndVD 39144 without virtual deductions and was automatically derived from ax6e2ndVD 39144. (Contributed by Alan Sare, 25-Mar-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

1::	|- E. y y = v
2::	|- u e. _V
3:1,2:	|- ( u e. _V /\ E. y y = v )
4:3:	|- E. y ( u e. _V /\ y = v )
5::	|- ( u e. _V <-> E. x x = u )
6:5:	|- ( ( u e. _V /\ y = v ) <-> ( E. x x = u /\ y = v ) )
7:6:	|- ( E. y ( u e. _V /\ y = v ) <-> E. y ( E. x x = u /\ y = v ) )
8:4,7:	|- E. y ( E. x x = u /\ y = v )
9::	|- ( z = v -> A. x z = v )
10::	|- ( y = v -> A. z y = v )
11::	|- (. z = y ->. z = y ).
12:11:	|- (. z = y ->. ( z = v <-> y = v ) ).
120:11:	|- ( z = y -> ( z = v <-> y = v ) )
13:9,10,120:	|- ( -. A. x x = y -> ( y = v -> A. x y = v ) )
14::	|- (. -. A. x x = y ->. -. A. x x = y ).
15:14,13:	|- (. -. A. x x = y ->. ( y = v -> A. x y = v ) ).
16:15:	|- ( -. A. x x = y -> ( y = v -> A. x y = v ) )
17:16:	|- ( A. x -. A. x x = y -> A. x ( y = v -> A. x y = v ) )
18::	|- ( -. A. x x = y -> A. x -. A. x x = y )
19:17,18:	|- ( -. A. x x = y -> A. x ( y = v -> A. x y = v ) )
20:14,19:	|- (. -. A. x x = y ->. A. x ( y = v -> A. x y = v ) ).
21:20:	|- (. -. A. x x = y ->. ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) ).
22:21:	|- ( -. A. x x = y -> ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
23:22:	|- ( A. y -. A. x x = y -> A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
24::	|- ( -. A. x x = y -> A. y -. A. x x = y )
25:23,24:	|- ( -. A. x x = y -> A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
26:14,25:	|- (. -. A. x x = y ->. A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) ).
27:26:	|- (. -. A. x x = y ->. ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) ).
28:8,27:	|- (. -. A. x x = y ->. E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ).
29:28:	|- (. -. A. x x = y ->. E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ).
qed:29:	|- ( -. A. x x = y -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )

Assertion

Ref	Expression
ax6e2ndVD	|- ( -. A. x x = y -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )

Distinct variable groups:   x, u   y, u   x, v

Proof of Theorem ax6e2ndVD

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . . . 7 |- u e. _V
2		ax6e 2250	. . . . . . 7 |- E. y y = v
3	1, 2	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( u e. _V /\ E. y y = v )
4		19.42v 1918	. . . . . . 7 |- ( E. y ( u e. _V /\ y = v ) <-> ( u e. _V /\ E. y y = v ) )
5	4	biimpri 218	. . . . . 6 |- ( ( u e. _V /\ E. y y = v ) -> E. y ( u e. _V /\ y = v ) )
6	3, 5	e0a 38999	. . . . 5 |- E. y ( u e. _V /\ y = v )
7		isset 3207	. . . . . . 7 |- ( u e. _V <-> E. x x = u )
8	7	anbi1i 731	. . . . . 6 |- ( ( u e. _V /\ y = v ) <-> ( E. x x = u /\ y = v ) )
9	8	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. y ( u e. _V /\ y = v ) <-> E. y ( E. x x = u /\ y = v ) )
10	6, 9	mpbi 220	. . . 4 |- E. y ( E. x x = u /\ y = v )
11		idn1 38790	. . . . . 6 |- (. -. A. x x = y ->. -. A. x x = y ).
12		hbnae 2317	. . . . . . 7 |- ( -. A. x x = y -> A. y -. A. x x = y )
13		hbn1 2020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. x x = y -> A. x -. A. x x = y )
14		ax-5 1839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = v -> A. x z = v )
15		ax-5 1839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = v -> A. z y = v )
16		idn1 38790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (. z = y ->. z = y ).
17		equequ1 1952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = y -> ( z = v <-> y = v ) )
18	16, 17	e1a 38852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (. z = y ->. ( z = v <-> y = v ) ).
19	18	in1 38787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = y -> ( z = v <-> y = v ) )
20	14, 15, 19	dvelimh 2336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A. x x = y -> ( y = v -> A. x y = v ) )
21	11, 20	e1a 38852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (. -. A. x x = y ->. ( y = v -> A. x y = v ) ).
22	21	in1 38787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. x x = y -> ( y = v -> A. x y = v ) )
23	22	alimi 1739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x -. A. x x = y -> A. x ( y = v -> A. x y = v ) )
24	13, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. x x = y -> A. x ( y = v -> A. x y = v ) )
25	11, 24	e1a 38852	. . . . . . . . . 10 |- (. -. A. x x = y ->. A. x ( y = v -> A. x y = v ) ).
26		19.41rg 38766	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x ( y = v -> A. x y = v ) -> ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
27	25, 26	e1a 38852	. . . . . . . . 9 |- (. -. A. x x = y ->. ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) ).
28	27	in1 38787	. . . . . . . 8 |- ( -. A. x x = y -> ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
29	28	alimi 1739	. . . . . . 7 |- ( A. y -. A. x x = y -> A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
30	12, 29	syl 17	. . . . . 6 |- ( -. A. x x = y -> A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
31	11, 30	e1a 38852	. . . . 5 |- (. -. A. x x = y ->. A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) ).
32		exim 1761	. . . . 5 |- ( A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) -> ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
33	31, 32	e1a 38852	. . . 4 |- (. -. A. x x = y ->. ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) ).
34		pm2.27 42	. . . 4 |- ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) -> ( ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
35	10, 33, 34	e01 38916	. . 3 |- (. -. A. x x = y ->. E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ).
36		excomim 2043	. . 3 |- ( E. y E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )
37	35, 36	e1a 38852	. 2 |- (. -. A. x x = y ->. E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ).
38	37	in1 38787	1 |- ( -. A. x x = y -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-v 3202  df-vd1 38786

This theorem is referenced by: (None)