Theorem ax6e2nd 38774

Description: If at least two sets exist (dtru 4857) , then the same is true expressed in an alternate form similar to the form of ax6e 2250. ax6e2nd 38774 is derived from ax6e2ndVD 39144. (Contributed by Alan Sare, 25-Mar-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax6e2nd	|- ( -. A. x x = y -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )

Distinct variable groups:   x, u   y, u   x, v

Proof of Theorem ax6e2nd

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . . . 7 |- u e. _V
2		ax6e 2250	. . . . . . 7 |- E. y y = v
3	1, 2	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( u e. _V /\ E. y y = v )
4		19.42v 1918	. . . . . . 7 |- ( E. y ( u e. _V /\ y = v ) <-> ( u e. _V /\ E. y y = v ) )
5	4	biimpri 218	. . . . . 6 |- ( ( u e. _V /\ E. y y = v ) -> E. y ( u e. _V /\ y = v ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . 5 |- E. y ( u e. _V /\ y = v )
7		isset 3207	. . . . . . 7 |- ( u e. _V <-> E. x x = u )
8	7	anbi1i 731	. . . . . 6 |- ( ( u e. _V /\ y = v ) <-> ( E. x x = u /\ y = v ) )
9	8	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. y ( u e. _V /\ y = v ) <-> E. y ( E. x x = u /\ y = v ) )
10	6, 9	mpbi 220	. . . 4 |- E. y ( E. x x = u /\ y = v )
11		id 22	. . . . . 6 |- ( -. A. x x = y -> -. A. x x = y )
12		hbnae 2317	. . . . . . 7 |- ( -. A. x x = y -> A. y -. A. x x = y )
13		hbn1 2020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. x x = y -> A. x -. A. x x = y )
14		ax-5 1839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = v -> A. x z = v )
15		ax-5 1839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = v -> A. z y = v )
16		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = y -> z = y )
17		equequ1 1952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = y -> ( z = v <-> y = v ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = y -> ( z = v <-> y = v ) )
19	18	idiALT 38683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = y -> ( z = v <-> y = v ) )
20	14, 15, 19	dvelimh 2336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A. x x = y -> ( y = v -> A. x y = v ) )
21	11, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A. x x = y -> ( y = v -> A. x y = v ) )
22	21	idiALT 38683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. x x = y -> ( y = v -> A. x y = v ) )
23	22	alimi 1739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x -. A. x x = y -> A. x ( y = v -> A. x y = v ) )
24	13, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. x x = y -> A. x ( y = v -> A. x y = v ) )
25	11, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. x x = y -> A. x ( y = v -> A. x y = v ) )
26		19.41rg 38766	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x ( y = v -> A. x y = v ) -> ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. x x = y -> ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
28	27	idiALT 38683	. . . . . . . 8 |- ( -. A. x x = y -> ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
29	28	alimi 1739	. . . . . . 7 |- ( A. y -. A. x x = y -> A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
30	12, 29	syl 17	. . . . . 6 |- ( -. A. x x = y -> A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
31	11, 30	syl 17	. . . . 5 |- ( -. A. x x = y -> A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
32		exim 1761	. . . . 5 |- ( A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) -> ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
33	31, 32	syl 17	. . . 4 |- ( -. A. x x = y -> ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
34		pm2.27 42	. . . 4 |- ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) -> ( ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
35	10, 33, 34	mpsyl 68	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) )
36		excomim 2043	. . 3 |- ( E. y E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )
37	35, 36	syl 17	. 2 |- ( -. A. x x = y -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )
38	37	idiALT 38683	1 |- ( -. A. x x = y -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-v 3202

This theorem is referenced by:  ax6e2ndeq  38775  ax6e2ndeqVD  39145  ax6e2ndeqALT  39167