Theorem axpowndlem2 9420

Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. Revised to remove a redundant antecedent from the consequence. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Dec-2016.) (Revised and shortened by Wolf Lammen, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
axpowndlem2	|- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = z -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )

Distinct variable group:   y, z

Proof of Theorem axpowndlem2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfpow 4844	. . . 4 |- E. w A. y ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. w )
2		19.8a 2052	. . . . . . . 8 |- ( w e. y -> E. z w e. y )
3		sp 2053	. . . . . . . 8 |- ( A. y w e. z -> w e. z )
4	2, 3	imim12i 62	. . . . . . 7 |- ( ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> ( w e. y -> w e. z ) )
5	4	alimi 1739	. . . . . 6 |- ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> A. w ( w e. y -> w e. z ) )
6	5	imim1i 63	. . . . 5 |- ( ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. w ) -> ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) )
7	6	alimi 1739	. . . 4 |- ( A. y ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. w ) -> A. y ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) )
8	1, 7	eximii 1764	. . 3 |- E. w A. y ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w )
9		nfnae 2318	. . . . 5 |- F/ x -. A. x x = y
10		nfnae 2318	. . . . 5 |- F/ x -. A. x x = z
11	9, 10	nfan 1828	. . . 4 |- F/ x ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
12		nfnae 2318	. . . . . 6 |- F/ y -. A. x x = y
13		nfnae 2318	. . . . . 6 |- F/ y -. A. x x = z
14	12, 13	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ y ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
15		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ w ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
16		nfnae 2318	. . . . . . . . . 10 |- F/ z -. A. x x = y
17		nfcvd 2765	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. x x = y -> F/_ x w )
18		nfcvf 2788	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. x x = y -> F/_ x y )
19	17, 18	nfeld 2773	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. x x = y -> F/ x w e. y )
20	16, 19	nfexd 2167	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. x x = y -> F/ x E. z w e. y )
21	20	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x E. z w e. y )
22		nfcvd 2765	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. x x = z -> F/_ x w )
23		nfcvf 2788	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. x x = z -> F/_ x z )
24	22, 23	nfeld 2773	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. x x = z -> F/ x w e. z )
25	13, 24	nfald 2165	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. x x = z -> F/ x A. y w e. z )
26	25	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x A. y w e. z )
27	21, 26	nfimd 1823	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) )
28	15, 27	nfald 2165	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) )
29	18, 17	nfeld 2773	. . . . . . 7 |- ( -. A. x x = y -> F/ x y e. w )
30	29	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x y e. w )
31	28, 30	nfimd 1823	. . . . 5 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) )
32	14, 31	nfald 2165	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x A. y ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) )
33		nfeqf2 2297	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. y y = x -> F/ y w = x )
34	33	naecoms 2313	. . . . . . . 8 |- ( -. A. x x = y -> F/ y w = x )
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ y w = x )
36	14, 35	nfan1 2068	. . . . . 6 |- F/ y ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x )
37		nfnae 2318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ z -. A. x x = z
38		nfeqf2 2297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A. z z = x -> F/ z w = x )
39	38	naecoms 2313	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A. x x = z -> F/ z w = x )
40	37, 39	nfan1 2068	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z ( -. A. x x = z /\ w = x )
41		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = x -> ( w e. y <-> x e. y ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. A. x x = z /\ w = x ) -> ( w e. y <-> x e. y ) )
43	40, 42	exbid 2091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A. x x = z /\ w = x ) -> ( E. z w e. y <-> E. z x e. y ) )
44	43	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( E. z w e. y <-> E. z x e. y ) )
45	12, 34	nfan1 2068	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ( -. A. x x = y /\ w = x )
46		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = x -> ( w e. z <-> x e. z ) )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. A. x x = y /\ w = x ) -> ( w e. z <-> x e. z ) )
48	45, 47	albid 2090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A. x x = y /\ w = x ) -> ( A. y w e. z <-> A. y x e. z ) )
49	48	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( A. y w e. z <-> A. y x e. z ) )
50	44, 49	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) <-> ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) )
51	50	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( w = x -> ( ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) <-> ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) ) )
52	11, 27, 51	cbvald 2277	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) <-> A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) <-> A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) )
54		elequ2 2004	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( y e. w <-> y e. x ) )
55	54	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( y e. w <-> y e. x ) )
56	53, 55	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) <-> ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )
57	36, 56	albid 2090	. . . . 5 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( A. y ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) <-> A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )
58	57	ex 450	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( w = x -> ( A. y ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) <-> A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) ) )
59	11, 32, 58	cbvexd 2278	. . 3 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( E. w A. y ( A. w ( E. z w e. y -> A. y w e. z ) -> y e. w ) <-> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )
60	8, 59	mpbii 223	. 2 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
61	60	ex 450	1 |- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = z -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   F/wnf 1708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-pow 4843

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753

This theorem is referenced by:  axpowndlem3  9421