Theorem axpowndlem3 9421

Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 10-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
axpowndlem3	|- ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )

Distinct variable group:   y, z

Proof of Theorem axpowndlem3

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sp 2053	. . 3 |- ( A. x x = y -> x = y )
2	1	con3i 150	. 2 |- ( -. x = y -> -. A. x x = y )
3		p0ex 4853	. . . . . . . 8 |- { (/) } e. _V
4		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { (/) } -> ( w e. x <-> w e. { (/) } ) )
5	4	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 |- ( x = { (/) } -> ( ( w = (/) -> w e. x ) <-> ( w = (/) -> w e. { (/) } ) ) )
6	5	albidv 1849	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> ( A. w ( w = (/) -> w e. x ) <-> A. w ( w = (/) -> w e. { (/) } ) ) )
7	3, 6	spcev 3300	. . . . . . 7 |- ( A. w ( w = (/) -> w e. { (/) } ) -> E. x A. w ( w = (/) -> w e. x ) )
8		0ex 4790	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
9	8	snid 4208	. . . . . . . 8 |- (/) e. { (/) }
10		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( w e. { (/) } <-> (/) e. { (/) } ) )
11	9, 10	mpbiri 248	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> w e. { (/) } )
12	7, 11	mpg 1724	. . . . . 6 |- E. x A. w ( w = (/) -> w e. x )
13		neq0 3930	. . . . . . . . . 10 |- ( -. w = (/) <-> E. x x e. w )
14	13	con1bii 346	. . . . . . . . 9 |- ( -. E. x x e. w <-> w = (/) )
15	14	imbi1i 339	. . . . . . . 8 |- ( ( -. E. x x e. w -> w e. x ) <-> ( w = (/) -> w e. x ) )
16	15	albii 1747	. . . . . . 7 |- ( A. w ( -. E. x x e. w -> w e. x ) <-> A. w ( w = (/) -> w e. x ) )
17	16	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. x A. w ( -. E. x x e. w -> w e. x ) <-> E. x A. w ( w = (/) -> w e. x ) )
18	12, 17	mpbir 221	. . . . 5 |- E. x A. w ( -. E. x x e. w -> w e. x )
19		nfnae 2318	. . . . . 6 |- F/ x -. A. x x = y
20		nfnae 2318	. . . . . . 7 |- F/ y -. A. x x = y
21		nfcvf2 2789	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. x x = y -> F/_ y x )
22		nfcvd 2765	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. x x = y -> F/_ y w )
23	21, 22	nfeld 2773	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. x x = y -> F/ y x e. w )
24	19, 23	nfexd 2167	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. x x = y -> F/ y E. x x e. w )
25	24	nfnd 1785	. . . . . . . 8 |- ( -. A. x x = y -> F/ y -. E. x x e. w )
26	22, 21	nfeld 2773	. . . . . . . 8 |- ( -. A. x x = y -> F/ y w e. x )
27	25, 26	nfimd 1823	. . . . . . 7 |- ( -. A. x x = y -> F/ y ( -. E. x x e. w -> w e. x ) )
28		nfeqf2 2297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. x x = y -> F/ x w = y )
29	19, 28	nfan1 2068	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( -. A. x x = y /\ w = y )
30		elequ2 2004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = y -> ( x e. w <-> x e. y ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. x x = y /\ w = y ) -> ( x e. w <-> x e. y ) )
32	29, 31	exbid 2091	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. x x = y /\ w = y ) -> ( E. x x e. w <-> E. x x e. y ) )
33	32	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ w = y ) -> ( -. E. x x e. w <-> -. E. x x e. y ) )
34		elequ1 1997	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( w e. x <-> y e. x ) )
35	34	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ w = y ) -> ( w e. x <-> y e. x ) )
36	33, 35	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ w = y ) -> ( ( -. E. x x e. w -> w e. x ) <-> ( -. E. x x e. y -> y e. x ) ) )
37	36	ex 450	. . . . . . 7 |- ( -. A. x x = y -> ( w = y -> ( ( -. E. x x e. w -> w e. x ) <-> ( -. E. x x e. y -> y e. x ) ) ) )
38	20, 27, 37	cbvald 2277	. . . . . 6 |- ( -. A. x x = y -> ( A. w ( -. E. x x e. w -> w e. x ) <-> A. y ( -. E. x x e. y -> y e. x ) ) )
39	19, 38	exbid 2091	. . . . 5 |- ( -. A. x x = y -> ( E. x A. w ( -. E. x x e. w -> w e. x ) <-> E. x A. y ( -. E. x x e. y -> y e. x ) ) )
40	18, 39	mpbii 223	. . . 4 |- ( -. A. x x = y -> E. x A. y ( -. E. x x e. y -> y e. x ) )
41		nfae 2316	. . . . 5 |- F/ x A. x x = z
42		nfae 2316	. . . . . 6 |- F/ y A. x x = z
43		axc11r 2187	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x x = z -> ( A. z -. x e. y -> A. x -. x e. y ) )
44		alnex 1706	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z -. x e. y <-> -. E. z x e. y )
45		alnex 1706	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x -. x e. y <-> -. E. x x e. y )
46	43, 44, 45	3imtr3g 284	. . . . . . . . 9 |- ( A. x x = z -> ( -. E. z x e. y -> -. E. x x e. y ) )
47		nd3 9411	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x x = z -> -. A. y x e. z )
48	47	pm2.21d 118	. . . . . . . . 9 |- ( A. x x = z -> ( A. y x e. z -> -. E. x x e. y ) )
49	46, 48	jad 174	. . . . . . . 8 |- ( A. x x = z -> ( ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> -. E. x x e. y ) )
50	49	spsd 2057	. . . . . . 7 |- ( A. x x = z -> ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> -. E. x x e. y ) )
51	50	imim1d 82	. . . . . 6 |- ( A. x x = z -> ( ( -. E. x x e. y -> y e. x ) -> ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )
52	42, 51	alimd 2081	. . . . 5 |- ( A. x x = z -> ( A. y ( -. E. x x e. y -> y e. x ) -> A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )
53	41, 52	eximd 2085	. . . 4 |- ( A. x x = z -> ( E. x A. y ( -. E. x x e. y -> y e. x ) -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )
54	40, 53	syl5com 31	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> ( A. x x = z -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )
55		axpowndlem2 9420	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = z -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )
56	54, 55	pm2.61d 170	. 2 |- ( -. A. x x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
57	2, 56	syl 17	1 |- ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   (/)c0 3915   {csn 4177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by:  axpowndlem4  9422