Theorem axrepnd 9416

Description: A version of the Axiom of Replacement with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
axrepnd	|- E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) )

Proof of Theorem axrepnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axrepndlem2 9415	. . . 4 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) ) )
2		nfnae 2318	. . . . . . 7 |- F/ x -. A. x x = y
3		nfnae 2318	. . . . . . 7 |- F/ x -. A. x x = z
4	2, 3	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ x ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
5		nfnae 2318	. . . . . 6 |- F/ x -. A. y y = z
6	4, 5	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ x ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z )
7		nfnae 2318	. . . . . . . . 9 |- F/ z -. A. x x = y
8		nfnae 2318	. . . . . . . . 9 |- F/ z -. A. x x = z
9	7, 8	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ z ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
10		nfnae 2318	. . . . . . . 8 |- F/ z -. A. y y = z
11	9, 10	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ z ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z )
12		nfcvf 2788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. y y = z -> F/_ y z )
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> F/_ y z )
14		nfcvf2 2789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. x x = y -> F/_ y x )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> F/_ y x )
16	13, 15	nfeld 2773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> F/ y z e. x )
17	16	nf5rd 2066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> ( z e. x -> A. y z e. x ) )
18		sp 2053	. . . . . . . . 9 |- ( A. y z e. x -> z e. x )
19	17, 18	impbid1 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> ( z e. x <-> A. y z e. x ) )
20		nfcvf2 2789	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A. x x = z -> F/_ z x )
21	20	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> F/_ z x )
22		nfcvf2 2789	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A. y y = z -> F/_ z y )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> F/_ z y )
24	21, 23	nfeld 2773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> F/ z x e. y )
25	24	nf5rd 2066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> ( x e. y -> A. z x e. y ) )
26		sp 2053	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z x e. y -> x e. y )
27	25, 26	impbid1 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> ( x e. y <-> A. z x e. y ) )
28	27	anbi1d 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> ( ( x e. y /\ A. y ph ) <-> ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) )
29	6, 28	exbid 2091	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> ( E. x ( x e. y /\ A. y ph ) <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) )
30	19, 29	bibi12d 335	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> ( ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) <-> ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) )
31	11, 30	albid 2090	. . . . . 6 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> ( A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) <-> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) )
32	31	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> ( ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) ) <-> ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) ) )
33	6, 32	exbid 2091	. . . 4 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> ( E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) ) <-> E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) ) )
34	1, 33	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ -. A. y y = z ) -> E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) )
35	34	exp31 630	. 2 |- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = z -> ( -. A. y y = z -> E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) ) ) )
36		nfae 2316	. . . . 5 |- F/ z A. x x = y
37		nd2 9410	. . . . . . 7 |- ( A. y y = x -> -. A. y z e. x )
38	37	aecoms 2312	. . . . . 6 |- ( A. x x = y -> -. A. y z e. x )
39		nfae 2316	. . . . . . 7 |- F/ x A. x x = y
40		nd3 9411	. . . . . . . 8 |- ( A. x x = y -> -. A. z x e. y )
41	40	intnanrd 963	. . . . . . 7 |- ( A. x x = y -> -. ( A. z x e. y /\ A. y ph ) )
42	39, 41	nexd 2089	. . . . . 6 |- ( A. x x = y -> -. E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) )
43	38, 42	2falsed 366	. . . . 5 |- ( A. x x = y -> ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) )
44	36, 43	alrimi 2082	. . . 4 |- ( A. x x = y -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) )
45	44	a1d 25	. . 3 |- ( A. x x = y -> ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) )
46		19.8a 2052	. . 3 |- ( ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) -> E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) )
47	45, 46	syl 17	. 2 |- ( A. x x = y -> E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) )
48		nfae 2316	. . . . 5 |- F/ z A. x x = z
49		nd4 9412	. . . . . 6 |- ( A. x x = z -> -. A. y z e. x )
50		nfae 2316	. . . . . . 7 |- F/ x A. x x = z
51		nd1 9409	. . . . . . . . 9 |- ( A. z z = x -> -. A. z x e. y )
52	51	aecoms 2312	. . . . . . . 8 |- ( A. x x = z -> -. A. z x e. y )
53	52	intnanrd 963	. . . . . . 7 |- ( A. x x = z -> -. ( A. z x e. y /\ A. y ph ) )
54	50, 53	nexd 2089	. . . . . 6 |- ( A. x x = z -> -. E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) )
55	49, 54	2falsed 366	. . . . 5 |- ( A. x x = z -> ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) )
56	48, 55	alrimi 2082	. . . 4 |- ( A. x x = z -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) )
57	56	a1d 25	. . 3 |- ( A. x x = z -> ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) )
58	57, 46	syl 17	. 2 |- ( A. x x = z -> E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) )
59		nfae 2316	. . . . 5 |- F/ z A. y y = z
60		nd1 9409	. . . . . 6 |- ( A. y y = z -> -. A. y z e. x )
61		nfae 2316	. . . . . . 7 |- F/ x A. y y = z
62		nd2 9410	. . . . . . . . 9 |- ( A. z z = y -> -. A. z x e. y )
63	62	aecoms 2312	. . . . . . . 8 |- ( A. y y = z -> -. A. z x e. y )
64	63	intnanrd 963	. . . . . . 7 |- ( A. y y = z -> -. ( A. z x e. y /\ A. y ph ) )
65	61, 64	nexd 2089	. . . . . 6 |- ( A. y y = z -> -. E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) )
66	60, 65	2falsed 366	. . . . 5 |- ( A. y y = z -> ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) )
67	59, 66	alrimi 2082	. . . 4 |- ( A. y y = z -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) )
68	67	a1d 25	. . 3 |- ( A. y y = z -> ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) )
69	68, 46	syl 17	. 2 |- ( A. y y = z -> E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) )
70	35, 47, 58, 69	pm2.61iii 179	1 |- E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   F/_wnfc 2751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by:  zfcndrep  9436  axrepprim  31579