Theorem axunndlem1 9417

Description: Lemma for the Axiom of Union with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
axunndlem1	|- E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x )

Distinct variable groups:   x, y   x, z

Proof of Theorem axunndlem1

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2lp 8510	. . . . . . . 8 |- -. ( y e. x /\ x e. y )
2		elequ2 2004	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( x e. y <-> x e. z ) )
3	2	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( y e. x /\ x e. y ) <-> ( y e. x /\ x e. z ) ) )
4	1, 3	mtbii 316	. . . . . . 7 |- ( y = z -> -. ( y e. x /\ x e. z ) )
5	4	sps 2055	. . . . . 6 |- ( A. y y = z -> -. ( y e. x /\ x e. z ) )
6	5	nexdv 1864	. . . . 5 |- ( A. y y = z -> -. E. x ( y e. x /\ x e. z ) )
7	6	pm2.21d 118	. . . 4 |- ( A. y y = z -> ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
8	7	axc4i 2131	. . 3 |- ( A. y y = z -> A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
9		19.8a 2052	. . 3 |- ( A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) -> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
10	8, 9	syl 17	. 2 |- ( A. y y = z -> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
11		zfun 6950	. . 3 |- E. x A. w ( E. x ( w e. x /\ x e. z ) -> w e. x )
12		nfnae 2318	. . . . 5 |- F/ y -. A. y y = z
13		nfnae 2318	. . . . . . 7 |- F/ x -. A. y y = z
14		nfvd 1844	. . . . . . . 8 |- ( -. A. y y = z -> F/ y w e. x )
15		nfcvf 2788	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. y y = z -> F/_ y z )
16	15	nfcrd 2771	. . . . . . . 8 |- ( -. A. y y = z -> F/ y x e. z )
17	14, 16	nfand 1826	. . . . . . 7 |- ( -. A. y y = z -> F/ y ( w e. x /\ x e. z ) )
18	13, 17	nfexd 2167	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = z -> F/ y E. x ( w e. x /\ x e. z ) )
19	18, 14	nfimd 1823	. . . . 5 |- ( -. A. y y = z -> F/ y ( E. x ( w e. x /\ x e. z ) -> w e. x ) )
20		elequ1 1997	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( w e. x <-> y e. x ) )
21	20	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( w e. x /\ x e. z ) <-> ( y e. x /\ x e. z ) ) )
22	21	exbidv 1850	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( E. x ( w e. x /\ x e. z ) <-> E. x ( y e. x /\ x e. z ) ) )
23	22, 20	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( E. x ( w e. x /\ x e. z ) -> w e. x ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) )
24	23	a1i 11	. . . . 5 |- ( -. A. y y = z -> ( w = y -> ( ( E. x ( w e. x /\ x e. z ) -> w e. x ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) ) )
25	12, 19, 24	cbvald 2277	. . . 4 |- ( -. A. y y = z -> ( A. w ( E. x ( w e. x /\ x e. z ) -> w e. x ) <-> A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) )
26	25	exbidv 1850	. . 3 |- ( -. A. y y = z -> ( E. x A. w ( E. x ( w e. x /\ x e. z ) -> w e. x ) <-> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) )
27	11, 26	mpbii 223	. 2 |- ( -. A. y y = z -> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
28	10, 27	pm2.61i 176	1 |- E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-eprel 5029  df-fr 5073

This theorem is referenced by:  axunnd  9418