Theorem axrepprim 31579

Description: ax-rep 4771 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
axrepprim	|- -. A. x -. ( -. A. y -. A. z ( ph -> z = y ) -> A. z -. ( ( A. y z e. x -> -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) ) -> -. ( -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) -> A. y z e. x ) ) )

Proof of Theorem axrepprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axrepnd 9416	. 2 |- E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) )
2		df-ex 1705	. . . . 5 |- ( E. y A. z ( ph -> z = y ) <-> -. A. y -. A. z ( ph -> z = y ) )
3		df-an 386	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. z x e. y /\ A. y ph ) <-> -. ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) )
4	3	exbii 1774	. . . . . . . . 9 |- ( E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) <-> E. x -. ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) )
5		exnal 1754	. . . . . . . . 9 |- ( E. x -. ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) <-> -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) )
6	4, 5	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) <-> -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) )
7	6	bibi2i 327	. . . . . . 7 |- ( ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) <-> ( A. y z e. x <-> -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) ) )
8		dfbi1 203	. . . . . . 7 |- ( ( A. y z e. x <-> -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) ) <-> -. ( ( A. y z e. x -> -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) ) -> -. ( -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) -> A. y z e. x ) ) )
9	7, 8	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) <-> -. ( ( A. y z e. x -> -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) ) -> -. ( -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) -> A. y z e. x ) ) )
10	9	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) <-> A. z -. ( ( A. y z e. x -> -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) ) -> -. ( -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) -> A. y z e. x ) ) )
11	2, 10	imbi12i 340	. . . 4 |- ( ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) <-> ( -. A. y -. A. z ( ph -> z = y ) -> A. z -. ( ( A. y z e. x -> -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) ) -> -. ( -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) -> A. y z e. x ) ) ) )
12	11	exbii 1774	. . 3 |- ( E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) <-> E. x ( -. A. y -. A. z ( ph -> z = y ) -> A. z -. ( ( A. y z e. x -> -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) ) -> -. ( -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) -> A. y z e. x ) ) ) )
13		df-ex 1705	. . 3 |- ( E. x ( -. A. y -. A. z ( ph -> z = y ) -> A. z -. ( ( A. y z e. x -> -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) ) -> -. ( -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) -> A. y z e. x ) ) ) <-> -. A. x -. ( -. A. y -. A. z ( ph -> z = y ) -> A. z -. ( ( A. y z e. x -> -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) ) -> -. ( -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) -> A. y z e. x ) ) ) )
14	12, 13	bitri 264	. 2 |- ( E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( A. y z e. x <-> E. x ( A. z x e. y /\ A. y ph ) ) ) <-> -. A. x -. ( -. A. y -. A. z ( ph -> z = y ) -> A. z -. ( ( A. y z e. x -> -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) ) -> -. ( -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) -> A. y z e. x ) ) ) )
15	1, 14	mpbi 220	1 |- -. A. x -. ( -. A. y -. A. z ( ph -> z = y ) -> A. z -. ( ( A. y z e. x -> -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) ) -> -. ( -. A. x ( A. z x e. y -> -. A. y ph ) -> A. y z e. x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by: (None)