Theorem bj-dfmpt2a 33071

Description: An equivalent definition of df-mpt2 6655. (Contributed by BJ, 30-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bj-dfmpt2a	|- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. s , t >. | E. x e. A E. y e. B ( s = <. x , y >. /\ t = C ) }

Distinct variable groups:   x, y, s, t   A, s, t   B, s, t   C, s, t   y, A

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, y)   C( x, y)

Proof of Theorem bj-dfmpt2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mpt2 6655	. 2 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , t >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ t = C ) }
2		dfoprab2 6701	. 2 |- { <. <. x , y >. , t >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ t = C ) } = { <. s , t >. | E. x E. y ( s = <. x , y >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ t = C ) ) }
3		ancom 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ t = C ) <-> ( t = C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
4	3	anbi2i 730	. . . . . . . 8 |- ( ( s = <. x , y >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ t = C ) ) <-> ( s = <. x , y >. /\ ( t = C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) ) )
5		anass 681	. . . . . . . 8 |- ( ( ( s = <. x , y >. /\ t = C ) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) <-> ( s = <. x , y >. /\ ( t = C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) ) )
6		an13 840	. . . . . . . 8 |- ( ( ( s = <. x , y >. /\ t = C ) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) <-> ( y e. B /\ ( x e. A /\ ( s = <. x , y >. /\ t = C ) ) ) )
7	4, 5, 6	3bitr2i 288	. . . . . . 7 |- ( ( s = <. x , y >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ t = C ) ) <-> ( y e. B /\ ( x e. A /\ ( s = <. x , y >. /\ t = C ) ) ) )
8	7	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. y ( s = <. x , y >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ t = C ) ) <-> E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ( s = <. x , y >. /\ t = C ) ) ) )
9		df-rex 2918	. . . . . 6 |- ( E. y e. B ( x e. A /\ ( s = <. x , y >. /\ t = C ) ) <-> E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ( s = <. x , y >. /\ t = C ) ) ) )
10		r19.42v 3092	. . . . . 6 |- ( E. y e. B ( x e. A /\ ( s = <. x , y >. /\ t = C ) ) <-> ( x e. A /\ E. y e. B ( s = <. x , y >. /\ t = C ) ) )
11	8, 9, 10	3bitr2i 288	. . . . 5 |- ( E. y ( s = <. x , y >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ t = C ) ) <-> ( x e. A /\ E. y e. B ( s = <. x , y >. /\ t = C ) ) )
12	11	exbii 1774	. . . 4 |- ( E. x E. y ( s = <. x , y >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ t = C ) ) <-> E. x ( x e. A /\ E. y e. B ( s = <. x , y >. /\ t = C ) ) )
13		df-rex 2918	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y e. B ( s = <. x , y >. /\ t = C ) <-> E. x ( x e. A /\ E. y e. B ( s = <. x , y >. /\ t = C ) ) )
14	12, 13	bitr4i 267	. . 3 |- ( E. x E. y ( s = <. x , y >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ t = C ) ) <-> E. x e. A E. y e. B ( s = <. x , y >. /\ t = C ) )
15	14	opabbii 4717	. 2 |- { <. s , t >. | E. x E. y ( s = <. x , y >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ t = C ) ) } = { <. s , t >. | E. x e. A E. y e. B ( s = <. x , y >. /\ t = C ) }
16	1, 2, 15	3eqtri 2648	1 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. s , t >. | E. x e. A E. y e. B ( s = <. x , y >. /\ t = C ) }

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   <.cop 4183   {copab 4712   {coprab 6651   |-> cmpt2 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-opab 4713  df-oprab 6654  df-mpt2 6655

This theorem is referenced by:  bj-mpt2mptALT  33072