Theorem bnj1385 30903

Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1385.1	|- ( ph <-> A. f e. A Fun f )
bnj1385.2	|- D = ( dom f i^i dom g )
bnj1385.3	|- ( ps <-> ( ph /\ A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) ) )
bnj1385.4	|- ( x e. A -> A. f x e. A )
bnj1385.5	|- ( ph' <-> A. h e. A Fun h )
bnj1385.6	|- E = ( dom h i^i dom g )
bnj1385.7	|- ( ps' <-> ( ph' /\ A. h e. A A. g e. A ( h |` E ) = ( g |` E ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj1385	|- ( ps -> Fun U. A )

Distinct variable groups:   A, g, h, x   D, h   f, E   f, g, h, x   g, ph'

Allowed substitution hints:   ph( x, f, g, h)   ps( x, f, g, h)   A( f)   D( x, f, g)   E( x, g, h)   ph'( x, f, h)   ps'( x, f, g, h)

Proof of Theorem bnj1385

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ h ( f e. A -> Fun f )
2		bnj1385.4	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> A. f x e. A )
3	2	nfcii 2755	. . . . . . . . 9 |- F/_ f A
4	3	nfcri 2758	. . . . . . . 8 |- F/ f h e. A
5		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ f Fun h
6	4, 5	nfim 1825	. . . . . . 7 |- F/ f ( h e. A -> Fun h )
7		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( f = h -> ( f e. A <-> h e. A ) )
8		funeq 5908	. . . . . . . 8 |- ( f = h -> ( Fun f <-> Fun h ) )
9	7, 8	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( f = h -> ( ( f e. A -> Fun f ) <-> ( h e. A -> Fun h ) ) )
10	1, 6, 9	cbval 2271	. . . . . 6 |- ( A. f ( f e. A -> Fun f ) <-> A. h ( h e. A -> Fun h ) )
11		df-ral 2917	. . . . . 6 |- ( A. f e. A Fun f <-> A. f ( f e. A -> Fun f ) )
12		df-ral 2917	. . . . . 6 |- ( A. h e. A Fun h <-> A. h ( h e. A -> Fun h ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 292	. . . . 5 |- ( A. f e. A Fun f <-> A. h e. A Fun h )
14		bnj1385.1	. . . . 5 |- ( ph <-> A. f e. A Fun f )
15		bnj1385.5	. . . . 5 |- ( ph' <-> A. h e. A Fun h )
16	13, 14, 15	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( ph <-> ph' )
17		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ h ( f e. A -> A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
18		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ f ( h |` E ) = ( g |` E )
19	3, 18	nfral 2945	. . . . . . 7 |- F/ f A. g e. A ( h |` E ) = ( g |` E )
20	4, 19	nfim 1825	. . . . . 6 |- F/ f ( h e. A -> A. g e. A ( h |` E ) = ( g |` E ) )
21		dmeq 5324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = h -> dom f = dom h )
22	21	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = h -> ( dom f i^i dom g ) = ( dom h i^i dom g ) )
23		bnj1385.2	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( dom f i^i dom g )
24		bnj1385.6	. . . . . . . . . . . 12 |- E = ( dom h i^i dom g )
25	22, 23, 24	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = h -> D = E )
26	25	reseq2d 5396	. . . . . . . . . 10 |- ( f = h -> ( f |` D ) = ( f |` E ) )
27		reseq1 5390	. . . . . . . . . 10 |- ( f = h -> ( f |` E ) = ( h |` E ) )
28	26, 27	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( f = h -> ( f |` D ) = ( h |` E ) )
29	25	reseq2d 5396	. . . . . . . . 9 |- ( f = h -> ( g |` D ) = ( g |` E ) )
30	28, 29	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( f = h -> ( ( f |` D ) = ( g |` D ) <-> ( h |` E ) = ( g |` E ) ) )
31	30	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( f = h -> ( A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) <-> A. g e. A ( h |` E ) = ( g |` E ) ) )
32	7, 31	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( f = h -> ( ( f e. A -> A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) ) <-> ( h e. A -> A. g e. A ( h |` E ) = ( g |` E ) ) ) )
33	17, 20, 32	cbval 2271	. . . . 5 |- ( A. f ( f e. A -> A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) ) <-> A. h ( h e. A -> A. g e. A ( h |` E ) = ( g |` E ) ) )
34		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) <-> A. f ( f e. A -> A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) ) )
35		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. h e. A A. g e. A ( h |` E ) = ( g |` E ) <-> A. h ( h e. A -> A. g e. A ( h |` E ) = ( g |` E ) ) )
36	33, 34, 35	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) <-> A. h e. A A. g e. A ( h |` E ) = ( g |` E ) )
37	16, 36	anbi12i 733	. . 3 |- ( ( ph /\ A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) ) <-> ( ph' /\ A. h e. A A. g e. A ( h |` E ) = ( g |` E ) ) )
38		bnj1385.3	. . 3 |- ( ps <-> ( ph /\ A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) ) )
39		bnj1385.7	. . 3 |- ( ps' <-> ( ph' /\ A. h e. A A. g e. A ( h |` E ) = ( g |` E ) ) )
40	37, 38, 39	3bitr4i 292	. 2 |- ( ps <-> ps' )
41	15, 24, 39	bnj1383 30902	. 2 |- ( ps' -> Fun U. A )
42	40, 41	sylbi 207	1 |- ( ps -> Fun U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   U.cuni 4436   dom cdm 5114   |` cres 5116   Fun wfun 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  bnj1386  30904