Theorem brprcneu 6184

Description: If A is a proper class and F is any class, then there is no unique set which is related to A through the binary relation F. (Contributed by Scott Fenton, 7-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
brprcneu	|- ( -. A e. _V -> -. E! x A F x )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem brprcneu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtru 4857	. . . . . . . . 9 |- -. A. y y = x
2		exnal 1754	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y -. x = y <-> -. A. y x = y )
3		equcom 1945	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y <-> y = x )
4	3	albii 1747	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y x = y <-> A. y y = x )
5	2, 4	xchbinx 324	. . . . . . . . 9 |- ( E. y -. x = y <-> -. A. y y = x )
6	1, 5	mpbir 221	. . . . . . . 8 |- E. y -. x = y
7	6	jctr 565	. . . . . . 7 |- ( (/) e. F -> ( (/) e. F /\ E. y -. x = y ) )
8		19.42v 1918	. . . . . . 7 |- ( E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) <-> ( (/) e. F /\ E. y -. x = y ) )
9	7, 8	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( (/) e. F -> E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) )
10		opprc1 4425	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> <. A , x >. = (/) )
11	10	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , x >. e. F <-> (/) e. F ) )
12		opprc1 4425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A e. _V -> <. A , y >. = (/) )
13	12	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , y >. e. F <-> (/) e. F ) )
14	11, 13	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. _V -> ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) <-> ( (/) e. F /\ (/) e. F ) ) )
15		anidm 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. F /\ (/) e. F ) <-> (/) e. F )
16	14, 15	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. _V -> ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) <-> (/) e. F ) )
17	16	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> ( ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) <-> ( (/) e. F /\ -. x = y ) ) )
18	17	exbidv 1850	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) <-> E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) ) )
19	11, 18	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> ( ( <. A , x >. e. F -> E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) ) <-> ( (/) e. F -> E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) ) ) )
20	9, 19	mpbiri 248	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , x >. e. F -> E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) ) )
21		df-br 4654	. . . . 5 |- ( A F x <-> <. A , x >. e. F )
22		df-br 4654	. . . . . . . 8 |- ( A F y <-> <. A , y >. e. F )
23	21, 22	anbi12i 733	. . . . . . 7 |- ( ( A F x /\ A F y ) <-> ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) )
24	23	anbi1i 731	. . . . . 6 |- ( ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) <-> ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) )
25	24	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) <-> E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) )
26	20, 21, 25	3imtr4g 285	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( A F x -> E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) ) )
27	26	eximdv 1846	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( E. x A F x -> E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) ) )
28		exnal 1754	. . . 4 |- ( E. x -. A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) <-> -. A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
29		exanali 1786	. . . . 5 |- ( E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) <-> -. A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
30	29	exbii 1774	. . . 4 |- ( E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) <-> E. x -. A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
31		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A F x <-> A F y ) )
32	31	mo4 2517	. . . . 5 |- ( E* x A F x <-> A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
33	32	notbii 310	. . . 4 |- ( -. E* x A F x <-> -. A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
34	28, 30, 33	3bitr4ri 293	. . 3 |- ( -. E* x A F x <-> E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) )
35	27, 34	syl6ibr 242	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( E. x A F x -> -. E* x A F x ) )
36		eu5 2496	. . . 4 |- ( E! x A F x <-> ( E. x A F x /\ E* x A F x ) )
37	36	notbii 310	. . 3 |- ( -. E! x A F x <-> -. ( E. x A F x /\ E* x A F x ) )
38		imnan 438	. . 3 |- ( ( E. x A F x -> -. E* x A F x ) <-> -. ( E. x A F x /\ E* x A F x ) )
39	37, 38	bitr4i 267	. 2 |- ( -. E! x A F x <-> ( E. x A F x -> -. E* x A F x ) )
40	35, 39	sylibr 224	1 |- ( -. A e. _V -> -. E! x A F x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   E*wmo 2471   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789  ax-pow 4843

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654

This theorem is referenced by:  fvprc  6185