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Theorem catidex 16335
Description: Each object in a category has an associated identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidex.b |- B = ( Base ` C )
catidex.h |- H = ( Hom ` C )
catidex.o |- .x. = (comp ` C )
catidex.c |- ( ph -> C e. Cat )
catidex.x |- ( ph -> X e. B )
Assertion
Ref Expression
catidex |- ( ph -> E. g e. ( X H X ) A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) )
Distinct variable groups:   f, g, y, B   C, f, g, y   ph, g   f, X, g, y   f, H, g, y   .x. , f, g, y
Allowed substitution hints:   ph( y, f)
Proof of Theorem catidex
Dummy variables k w x z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catidex.x . 2 |- ( ph -> X e. B )
2 catidex.c . . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
3 catidex.b . . . . 5 |- B = ( Base ` C )
4 catidex.h . . . . 5 |- H = ( Hom ` C )
5 catidex.o . . . . 5 |- .x. = (comp ` C )
63, 4, 5iscat 16333 . . . 4 |- ( C e. Cat -> ( C e. Cat <-> A. x e. B ( E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) /\ A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) ) )
76ibi 256 . . 3 |- ( C e. Cat -> A. x e. B ( E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) /\ A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) )
8 simpl 473 . . . 4 |- ( ( E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) /\ A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) -> E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) )
98ralimi 2952 . . 3 |- ( A. x e. B ( E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) /\ A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) -> A. x e. B E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) )
102, 7, 93syl 18 . 2 |- ( ph -> A. x e. B E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) )
11 id 22 . . . . 5 |- ( x = X -> x = X )
1211, 11oveq12d 6668 . . . 4 |- ( x = X -> ( x H x ) = ( X H X ) )
13 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( x = X -> ( y H x ) = ( y H X ) )
14 opeq2 4403 . . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> <. y , x >. = <. y , X >. )
1514, 11oveq12d 6668 . . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( <. y , x >. .x. x ) = ( <. y , X >. .x. X ) )
1615oveqd 6667 . . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) )
1716eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( x = X -> ( ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f <-> ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f ) )
1813, 17raleqbidv 3152 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f <-> A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f ) )
19 oveq1 6657 . . . . . . 7 |- ( x = X -> ( x H y ) = ( X H y ) )
2011, 11opeq12d 4410 . . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> <. x , x >. = <. X , X >. )
2120oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( <. x , x >. .x. y ) = ( <. X , X >. .x. y ) )
2221oveqd 6667 . . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) )
2322eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( x = X -> ( ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f <-> ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) )
2419, 23raleqbidv 3152 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f <-> A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) )
2518, 24anbi12d 747 . . . . 5 |- ( x = X -> ( ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) <-> ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) ) )
2625ralbidv 2986 . . . 4 |- ( x = X -> ( A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) <-> A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) ) )
2712, 26rexeqbidv 3153 . . 3 |- ( x = X -> ( E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) <-> E. g e. ( X H X ) A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) ) )
2827rspcv 3305 . 2 |- ( X e. B -> ( A. x e. B E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) -> E. g e. ( X H X ) A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) ) )
291, 10, 28sylc 65 1 |- ( ph -> E. g e. ( X H X ) A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-cat 16329
This theorem is referenced by:  catideu  16336
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