Theorem iscatd 16334

Description: Properties that determine a category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscatd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` C ) )
iscatd.h	|- ( ph -> H = ( Hom ` C ) )
iscatd.o	|- ( ph -> .x. = (comp ` C ) )
iscatd.c	|- ( ph -> C e. V )
iscatd.1	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> .1. e. ( x H x ) )
iscatd.2	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( y H x ) ) ) -> ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f )
iscatd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( x H y ) ) ) -> ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f )
iscatd.4	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) )
iscatd.5	|- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) /\ k e. ( z H w ) ) ) -> ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iscatd	|- ( ph -> C e. Cat )

Distinct variable groups:   f, g, y, .1.   f, k, w, x, z, B, g, y   ph, f, g, k, w, x, y, z   .x. , g   C, f, g, k, w, x, y, z   f, H, g, k, w

Allowed substitution hints:   .x. ( x, y, z, w, f, k)   .1. ( x, z, w, k)   H( x, y, z)   V( x, y, z, w, f, g, k)

Proof of Theorem iscatd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscatd.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> .1. e. ( x H x ) )
2		iscatd.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( y H x ) ) ) -> ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f )
3	2	3exp2 1285	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. B -> ( y e. B -> ( f e. ( y H x ) -> ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f ) ) ) )
4	3	imp31 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( f e. ( y H x ) -> ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f ) )
5	4	ralrimiv 2965	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> A. f e. ( y H x ) ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f )
6		iscatd.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( x H y ) ) ) -> ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f )
7	6	3exp2 1285	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. B -> ( y e. B -> ( f e. ( x H y ) -> ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f ) ) ) )
8	7	imp31 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( f e. ( x H y ) -> ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f ) )
9	8	ralrimiv 2965	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f )
10	5, 9	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( A. f e. ( y H x ) ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f ) )
11	10	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f ) )
12		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = .1. -> ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) )
13	12	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( g = .1. -> ( ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f <-> ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f ) )
14	13	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( g = .1. -> ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f <-> A. f e. ( y H x ) ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f ) )
15		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = .1. -> ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) )
16	15	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( g = .1. -> ( ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f <-> ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f ) )
17	16	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( g = .1. -> ( A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f <-> A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f ) )
18	14, 17	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( g = .1. -> ( ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) <-> ( A. f e. ( y H x ) ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f ) ) )
19	18	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( g = .1. -> ( A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) <-> A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f ) ) )
20	19	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( .1. e. ( x H x ) /\ A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f ) ) -> E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) )
21	1, 11, 20	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) )
22		iscatd.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) )
23	22	3expia 1267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) -> ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) ) )
24	23	3exp2 1285	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. B -> ( y e. B -> ( z e. B -> ( ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) -> ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) ) ) ) ) )
25	24	imp43 621	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) -> ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) ) )
26		iscatd.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) /\ k e. ( z H w ) ) ) -> ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) )
27	26	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) /\ k e. ( z H w ) ) ) -> ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) )
28	27	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( f e. ( x H y ) -> ( g e. ( y H z ) -> ( k e. ( z H w ) -> ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) ) )
29	28	imp32 449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ( k e. ( z H w ) -> ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) )
30	29	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) )
31	30	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) -> A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) )
32	31	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( z e. B /\ w e. B ) -> ( ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) -> A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) )
33	32	expd 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( z e. B -> ( w e. B -> ( ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) -> A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) ) )
34	33	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( y e. B -> ( z e. B -> ( w e. B -> ( ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) -> A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) ) ) )
35	34	imp42 620	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) -> A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) )
36	35	ralrimdva 2969	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) -> A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) )
37	25, 36	jcad 555	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) -> ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) )
38	37	ralrimivv 2970	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) )
39	38	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) )
40	21, 39	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) /\ A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) )
41	40	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B ( E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) /\ A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) )
42		iscatd.b	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` C ) )
43		iscatd.h	. . . . . . 7 |- ( ph -> H = ( Hom ` C ) )
44	43	oveqd 6667	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x H x ) = ( x ( Hom ` C ) x ) )
45	43	oveqd 6667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y H x ) = ( y ( Hom ` C ) x ) )
46		iscatd.o	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> .x. = (comp ` C ) )
47	46	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( <. y , x >. .x. x ) = ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) )
48	47	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) )
49	48	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f <-> ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f ) )
50	45, 49	raleqbidv 3152	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f <-> A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f ) )
51	43	oveqd 6667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x H y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
52	46	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( <. x , x >. .x. y ) = ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) )
53	52	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) )
54	53	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f <-> ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) )
55	51, 54	raleqbidv 3152	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f <-> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) )
56	50, 55	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) <-> ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) )
57	42, 56	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) <-> A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) )
58	44, 57	rexeqbidv 3153	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) <-> E. g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) )
59	43	oveqd 6667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y H z ) = ( y ( Hom ` C ) z ) )
60	46	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( <. x , y >. .x. z ) = ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) )
61	60	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) = ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) )
62	43	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x H z ) = ( x ( Hom ` C ) z ) )
63	61, 62	eleq12d 2695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) <-> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) ) )
64	43	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z H w ) = ( z ( Hom ` C ) w ) )
65	46	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( <. x , y >. .x. w ) = ( <. x , y >. (comp ` C ) w ) )
66	46	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( <. y , z >. .x. w ) = ( <. y , z >. (comp ` C ) w ) )
67	66	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) = ( k ( <. y , z >. (comp ` C ) w ) g ) )
68		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> f = f )
69	65, 67, 68	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( ( k ( <. y , z >. (comp ` C ) w ) g ) ( <. x , y >. (comp ` C ) w ) f ) )
70	46	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( <. x , z >. .x. w ) = ( <. x , z >. (comp ` C ) w ) )
71		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> k = k )
72	70, 71, 61	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) = ( k ( <. x , z >. (comp ` C ) w ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) )
73	69, 72	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) <-> ( ( k ( <. y , z >. (comp ` C ) w ) g ) ( <. x , y >. (comp ` C ) w ) f ) = ( k ( <. x , z >. (comp ` C ) w ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) ) )
74	64, 73	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) <-> A. k e. ( z ( Hom ` C ) w ) ( ( k ( <. y , z >. (comp ` C ) w ) g ) ( <. x , y >. (comp ` C ) w ) f ) = ( k ( <. x , z >. (comp ` C ) w ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) ) )
75	42, 74	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) <-> A. w e. ( Base ` C ) A. k e. ( z ( Hom ` C ) w ) ( ( k ( <. y , z >. (comp ` C ) w ) g ) ( <. x , y >. (comp ` C ) w ) f ) = ( k ( <. x , z >. (comp ` C ) w ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) ) )
76	63, 75	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) <-> ( ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) /\ A. w e. ( Base ` C ) A. k e. ( z ( Hom ` C ) w ) ( ( k ( <. y , z >. (comp ` C ) w ) g ) ( <. x , y >. (comp ` C ) w ) f ) = ( k ( <. x , z >. (comp ` C ) w ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) ) ) )
77	59, 76	raleqbidv 3152	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) <-> A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) /\ A. w e. ( Base ` C ) A. k e. ( z ( Hom ` C ) w ) ( ( k ( <. y , z >. (comp ` C ) w ) g ) ( <. x , y >. (comp ` C ) w ) f ) = ( k ( <. x , z >. (comp ` C ) w ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) ) ) )
78	51, 77	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) <-> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) /\ A. w e. ( Base ` C ) A. k e. ( z ( Hom ` C ) w ) ( ( k ( <. y , z >. (comp ` C ) w ) g ) ( <. x , y >. (comp ` C ) w ) f ) = ( k ( <. x , z >. (comp ` C ) w ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) ) ) )
79	42, 78	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) <-> A. z e. ( Base ` C ) A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) /\ A. w e. ( Base ` C ) A. k e. ( z ( Hom ` C ) w ) ( ( k ( <. y , z >. (comp ` C ) w ) g ) ( <. x , y >. (comp ` C ) w ) f ) = ( k ( <. x , z >. (comp ` C ) w ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) ) ) )
80	42, 79	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) <-> A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( Base ` C ) A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) /\ A. w e. ( Base ` C ) A. k e. ( z ( Hom ` C ) w ) ( ( k ( <. y , z >. (comp ` C ) w ) g ) ( <. x , y >. (comp ` C ) w ) f ) = ( k ( <. x , z >. (comp ` C ) w ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) ) ) )
81	58, 80	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) /\ A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) <-> ( E. g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) /\ A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( Base ` C ) A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) /\ A. w e. ( Base ` C ) A. k e. ( z ( Hom ` C ) w ) ( ( k ( <. y , z >. (comp ` C ) w ) g ) ( <. x , y >. (comp ` C ) w ) f ) = ( k ( <. x , z >. (comp ` C ) w ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) ) ) ) )
82	42, 81	raleqbidv 3152	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. B ( E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) /\ A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. k e. ( z H w ) ( ( k ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( k ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` C ) ( E. g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) /\ A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( Base ` C ) A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) /\ A. w e. ( Base ` C ) A. k e. ( z ( Hom ` C ) w ) ( ( k ( <. y , z >. (comp ` C ) w ) g ) ( <. x , y >. (comp ` C ) w ) f ) = ( k ( <. x , z >. (comp ` C ) w ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) ) ) ) )
83	41, 82	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` C ) ( E. g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) /\ A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( Base ` C ) A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) /\ A. w e. ( Base ` C ) A. k e. ( z ( Hom ` C ) w ) ( ( k ( <. y , z >. (comp ` C ) w ) g ) ( <. x , y >. (comp ` C ) w ) f ) = ( k ( <. x , z >. (comp ` C ) w ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) ) ) )
84		iscatd.c	. . 3 |- ( ph -> C e. V )
85		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
86		eqid 2622	. . . 4 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
87		eqid 2622	. . . 4 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
88	85, 86, 87	iscat 16333	. . 3 |- ( C e. V -> ( C e. Cat <-> A. x e. ( Base ` C ) ( E. g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) /\ A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( Base ` C ) A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) /\ A. w e. ( Base ` C ) A. k e. ( z ( Hom ` C ) w ) ( ( k ( <. y , z >. (comp ` C ) w ) g ) ( <. x , y >. (comp ` C ) w ) f ) = ( k ( <. x , z >. (comp ` C ) w ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) ) ) ) )
89	84, 88	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( C e. Cat <-> A. x e. ( Base ` C ) ( E. g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) /\ A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( Base ` C ) A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) /\ A. w e. ( Base ` C ) A. k e. ( z ( Hom ` C ) w ) ( ( k ( <. y , z >. (comp ` C ) w ) g ) ( <. x , y >. (comp ` C ) w ) f ) = ( k ( <. x , z >. (comp ` C ) w ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) ) ) ) )
90	83, 89	mpbird 247	1 |- ( ph -> C e. Cat )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-cat 16329

This theorem is referenced by:  iscatd2  16342  0catg  16348