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Theorem catideu 16336
Description: Each object in a category has a unique identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidex.b |- B = ( Base ` C )
catidex.h |- H = ( Hom ` C )
catidex.o |- .x. = (comp ` C )
catidex.c |- ( ph -> C e. Cat )
catidex.x |- ( ph -> X e. B )
Assertion
Ref Expression
catideu |- ( ph -> E! g e. ( X H X ) A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) )
Distinct variable groups:   f, g, y, B   C, f, g, y   ph, g   f, X, g, y   f, H, g, y   .x. , f, g, y
Allowed substitution hints:   ph( y, f)
Proof of Theorem catideu
Dummy variable h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catidex.b . . 3 |- B = ( Base ` C )
2 catidex.h . . 3 |- H = ( Hom ` C )
3 catidex.o . . 3 |- .x. = (comp ` C )
4 catidex.c . . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
5 catidex.x . . 3 |- ( ph -> X e. B )
61, 2, 3, 4, 5catidex 16335 . 2 |- ( ph -> E. g e. ( X H X ) A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) )
7 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( y = X -> ( y H X ) = ( X H X ) )
8 opeq1 4402 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = X -> <. y , X >. = <. X , X >. )
98oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( y = X -> ( <. y , X >. .x. X ) = ( <. X , X >. .x. X ) )
109oveqd 6667 . . . . . . . . 9 |- ( y = X -> ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) )
1110eqeq1d 2624 . . . . . . . 8 |- ( y = X -> ( ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f <-> ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f ) )
127, 11raleqbidv 3152 . . . . . . 7 |- ( y = X -> ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f <-> A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f ) )
13 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( y = X -> ( X H y ) = ( X H X ) )
14 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( y = X -> ( <. X , X >. .x. y ) = ( <. X , X >. .x. X ) )
1514oveqd 6667 . . . . . . . . 9 |- ( y = X -> ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) )
1615eqeq1d 2624 . . . . . . . 8 |- ( y = X -> ( ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f <-> ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f ) )
1713, 16raleqbidv 3152 . . . . . . 7 |- ( y = X -> ( A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f <-> A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f ) )
1812, 17anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( y = X -> ( ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) <-> ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f ) ) )
1918rspcv 3305 . . . . 5 |- ( X e. B -> ( A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) -> ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f ) ) )
205, 19syl 17 . . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) -> ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f ) ) )
2120ralrimivw 2967 . . 3 |- ( ph -> A. g e. ( X H X ) ( A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) -> ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f ) ) )
22 an3 868 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f ) /\ ( A. f e. ( X H X ) ( h ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) h ) = f ) ) -> ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) h ) = f ) )
23 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( f = h -> ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = ( g ( <. X , X >. .x. X ) h ) )
24 id 22 . . . . . . . . . 10 |- ( f = h -> f = h )
2523, 24eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( f = h -> ( ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f <-> ( g ( <. X , X >. .x. X ) h ) = h ) )
2625rspcv 3305 . . . . . . . 8 |- ( h e. ( X H X ) -> ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f -> ( g ( <. X , X >. .x. X ) h ) = h ) )
27 oveq1 6657 . . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( f ( <. X , X >. .x. X ) h ) = ( g ( <. X , X >. .x. X ) h ) )
28 id 22 . . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> f = g )
2927, 28eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( ( f ( <. X , X >. .x. X ) h ) = f <-> ( g ( <. X , X >. .x. X ) h ) = g ) )
3029rspcv 3305 . . . . . . . 8 |- ( g e. ( X H X ) -> ( A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) h ) = f -> ( g ( <. X , X >. .x. X ) h ) = g ) )
3126, 30im2anan9r 881 . . . . . . 7 |- ( ( g e. ( X H X ) /\ h e. ( X H X ) ) -> ( ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) h ) = f ) -> ( ( g ( <. X , X >. .x. X ) h ) = h /\ ( g ( <. X , X >. .x. X ) h ) = g ) ) )
32 eqtr2 2642 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g ( <. X , X >. .x. X ) h ) = h /\ ( g ( <. X , X >. .x. X ) h ) = g ) -> h = g )
3332equcomd 1946 . . . . . . 7 |- ( ( ( g ( <. X , X >. .x. X ) h ) = h /\ ( g ( <. X , X >. .x. X ) h ) = g ) -> g = h )
3422, 31, 33syl56 36 . . . . . 6 |- ( ( g e. ( X H X ) /\ h e. ( X H X ) ) -> ( ( ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f ) /\ ( A. f e. ( X H X ) ( h ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) h ) = f ) ) -> g = h ) )
3534rgen2a 2977 . . . . 5 |- A. g e. ( X H X ) A. h e. ( X H X ) ( ( ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f ) /\ ( A. f e. ( X H X ) ( h ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) h ) = f ) ) -> g = h )
3635a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> A. g e. ( X H X ) A. h e. ( X H X ) ( ( ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f ) /\ ( A. f e. ( X H X ) ( h ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) h ) = f ) ) -> g = h ) )
37 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( g = h -> ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = ( h ( <. X , X >. .x. X ) f ) )
3837eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( g = h -> ( ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f <-> ( h ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f ) )
3938ralbidv 2986 . . . . . 6 |- ( g = h -> ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f <-> A. f e. ( X H X ) ( h ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f ) )
40 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( g = h -> ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = ( f ( <. X , X >. .x. X ) h ) )
4140eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( g = h -> ( ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f <-> ( f ( <. X , X >. .x. X ) h ) = f ) )
4241ralbidv 2986 . . . . . 6 |- ( g = h -> ( A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f <-> A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) h ) = f ) )
4339, 42anbi12d 747 . . . . 5 |- ( g = h -> ( ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f ) <-> ( A. f e. ( X H X ) ( h ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) h ) = f ) ) )
4443rmo4 3399 . . . 4 |- ( E* g e. ( X H X ) ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f ) <-> A. g e. ( X H X ) A. h e. ( X H X ) ( ( ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f ) /\ ( A. f e. ( X H X ) ( h ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) h ) = f ) ) -> g = h ) )
4536, 44sylibr 224 . . 3 |- ( ph -> E* g e. ( X H X ) ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f ) )
46 rmoim 3407 . . 3 |- ( A. g e. ( X H X ) ( A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) -> ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f ) ) -> ( E* g e. ( X H X ) ( A. f e. ( X H X ) ( g ( <. X , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H X ) ( f ( <. X , X >. .x. X ) g ) = f ) -> E* g e. ( X H X ) A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) ) )
4721, 45, 46sylc 65 . 2 |- ( ph -> E* g e. ( X H X ) A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) )
48 reu5 3159 . 2 |- ( E! g e. ( X H X ) A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) <-> ( E. g e. ( X H X ) A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) /\ E* g e. ( X H X ) A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) ) )
496, 47, 48sylanbrc 698 1 |- ( ph -> E! g e. ( X H X ) A. y e. B ( A. f e. ( y H X ) ( g ( <. y , X >. .x. X ) f ) = f /\ A. f e. ( X H y ) ( f ( <. X , X >. .x. y ) g ) = f ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   E*wrmo 2915   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-cat 16329
This theorem is referenced by:  catidd  16341  catidcl  16343  catlid  16344  catrid  16345
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