Theorem clmlmod 22867

Description: A subcomplex module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
clmlmod	|- ( W e. CMod -> W e. LMod )

Proof of Theorem clmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
3	1, 2	isclm 22864	. 2 |- ( W e. CMod <-> ( W e. LMod /\ (Scalar ` W ) = (ℂfld ↾s ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( Base ` (Scalar ` W ) ) e. (SubRing ` ℂfld ) ) )
4	3	simp1bi 1076	1 |- ( W e. CMod -> W e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  Scalarcsca 15944  SubRingcsubrg 18776   LModclmod 18863  ℂ_fldccnfld 19746  CModcclm 22862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-clm 22863

This theorem is referenced by:  clmgrp  22868  clmabl  22869  clmring  22870  clmfgrp  22871  clmvscl  22888  clmvsass  22889  clmvsdir  22891  clmvsdi  22892  clmvs1  22893  clmvs2  22894  clm0vs  22895  clmopfne  22896  clmvneg1  22899  clmvsneg  22900  clmsubdir  22902  clmvsubval  22909  zlmclm  22912  cmodscmulexp  22922  iscvs  22927  cvsi  22930  isncvsngp  22949  ttgbtwnid  25764  ttgcontlem1  25765