Theorem isncvsngp 22949

Description: A normed subcomplex vector space is a subcomplex vector space which is a normed group with a positively homogeneous norm. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
isncvsngp.v	|- V = ( Base ` W )
isncvsngp.n	|- N = ( norm ` W )
isncvsngp.s	|- .x. = ( .s ` W )
isncvsngp.f	|- F = (Scalar ` W )
isncvsngp.k	|- K = ( Base ` F )

Assertion

Ref	Expression
isncvsngp	|- ( W e. (NrmVec i^i CVec ) <-> ( W e. CVec /\ W e. NrmGrp /\ A. x e. V A. k e. K ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( abs ` k ) x. ( N ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, F, x   k, K, x   k, N, x   k, V, x   k, W, x   .x. , k, x

Proof of Theorem isncvsngp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnvc 22499	. . . . . 6 |- ( W e. NrmVec <-> ( W e. NrmMod /\ W e. LVec ) )
2		ancom 466	. . . . . 6 |- ( ( W e. NrmMod /\ W e. LVec ) <-> ( W e. LVec /\ W e. NrmMod ) )
3	1, 2	bitri 264	. . . . 5 |- ( W e. NrmVec <-> ( W e. LVec /\ W e. NrmMod ) )
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( W e. CVec -> ( W e. NrmVec <-> ( W e. LVec /\ W e. NrmMod ) ) )
5		id 22	. . . . . 6 |- ( W e. CVec -> W e. CVec )
6	5	cvslvec 22925	. . . . 5 |- ( W e. CVec -> W e. LVec )
7	6	biantrurd 529	. . . 4 |- ( W e. CVec -> ( W e. NrmMod <-> ( W e. LVec /\ W e. NrmMod ) ) )
8	5	cvsclm 22926	. . . . 5 |- ( W e. CVec -> W e. CMod )
9		isncvsngp.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
10		isncvsngp.n	. . . . . . 7 |- N = ( norm ` W )
11		isncvsngp.s	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` W )
12		isncvsngp.f	. . . . . . 7 |- F = (Scalar ` W )
13		isncvsngp.k	. . . . . . 7 |- K = ( Base ` F )
14		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( norm ` F ) = ( norm ` F )
15	9, 10, 11, 12, 13, 14	isnlm 22479	. . . . . 6 |- ( W e. NrmMod <-> ( ( W e. NrmGrp /\ W e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ A. k e. K A. x e. V ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) ) )
16		3anass 1042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. NrmGrp /\ W e. LMod /\ F e. NrmRing ) <-> ( W e. NrmGrp /\ ( W e. LMod /\ F e. NrmRing ) ) )
17		ancom 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. NrmGrp /\ ( W e. LMod /\ F e. NrmRing ) ) <-> ( ( W e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ W e. NrmGrp ) )
18	16, 17	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. NrmGrp /\ W e. LMod /\ F e. NrmRing ) <-> ( ( W e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ W e. NrmGrp ) )
19	18	anbi1i 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. NrmGrp /\ W e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ A. k e. K A. x e. V ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) ) <-> ( ( ( W e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ W e. NrmGrp ) /\ A. k e. K A. x e. V ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) ) )
20		anass 681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ W e. NrmGrp ) /\ A. k e. K A. x e. V ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) ) <-> ( ( W e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ ( W e. NrmGrp /\ A. k e. K A. x e. V ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) ) ) )
21	19, 20	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. NrmGrp /\ W e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ A. k e. K A. x e. V ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) ) <-> ( ( W e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ ( W e. NrmGrp /\ A. k e. K A. x e. V ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) ) ) )
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( W e. CMod -> ( ( ( W e. NrmGrp /\ W e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ A. k e. K A. x e. V ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) ) <-> ( ( W e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ ( W e. NrmGrp /\ A. k e. K A. x e. V ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) ) ) ) )
23		clmlmod 22867	. . . . . . . . 9 |- ( W e. CMod -> W e. LMod )
24	12, 13	clmsca 22865	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. CMod -> F = (ℂfld ↾s K ) )
25		cnnrg 22584	. . . . . . . . . . 11 |- ℂfld e. NrmRing
26	12, 13	clmsubrg 22866	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. CMod -> K e. (SubRing ` ℂfld ) )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (ℂfld ↾s K ) = (ℂfld ↾s K )
28	27	subrgnrg 22477	. . . . . . . . . . 11 |- ( (ℂfld e. NrmRing /\ K e. (SubRing ` ℂfld ) ) -> (ℂfld ↾s K ) e. NrmRing )
29	25, 26, 28	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. CMod -> (ℂfld ↾s K ) e. NrmRing )
30	24, 29	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( W e. CMod -> F e. NrmRing )
31	23, 30	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( W e. CMod -> ( W e. LMod /\ F e. NrmRing ) )
32	31	biantrurd 529	. . . . . . 7 |- ( W e. CMod -> ( ( W e. NrmGrp /\ A. k e. K A. x e. V ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) ) <-> ( ( W e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ ( W e. NrmGrp /\ A. k e. K A. x e. V ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) ) ) ) )
33		ralcom 3098	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. K A. x e. V ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) <-> A. x e. V A. k e. K ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) )
34	24	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W e. CMod -> ( norm ` F ) = ( norm ` (ℂfld ↾s K ) ) )
35		subrgsubg 18786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. (SubRing ` ℂfld ) -> K e. (SubGrp ` ℂfld ) )
36		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( norm ` ℂfld ) = ( norm ` ℂfld )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( norm ` (ℂfld ↾s K ) ) = ( norm ` (ℂfld ↾s K ) )
38	27, 36, 37	subgnm 22437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. (SubGrp ` ℂfld ) -> ( norm ` (ℂfld ↾s K ) ) = ( ( norm ` ℂfld ) |` K ) )
39	26, 35, 38	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W e. CMod -> ( norm ` (ℂfld ↾s K ) ) = ( ( norm ` ℂfld ) |` K ) )
40	34, 39	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( W e. CMod -> ( norm ` F ) = ( ( norm ` ℂfld ) |` K ) )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. CMod /\ ( x e. V /\ k e. K ) ) -> ( norm ` F ) = ( ( norm ` ℂfld ) |` K ) )
42	41	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. CMod /\ ( x e. V /\ k e. K ) ) -> ( ( norm ` F ) ` k ) = ( ( ( norm ` ℂfld ) |` K ) ` k ) )
43		cnfldnm 22582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- abs = ( norm ` ℂfld )
44	43	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( norm ` ℂfld ) = abs
45	44	reseq1i 5392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( norm ` ℂfld ) |` K ) = ( abs |` K )
46	45	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( norm ` ℂfld ) |` K ) ` k ) = ( ( abs |` K ) ` k )
47		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. K -> ( ( abs |` K ) ` k ) = ( abs ` k ) )
48	47	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. CMod /\ ( x e. V /\ k e. K ) ) -> ( ( abs |` K ) ` k ) = ( abs ` k ) )
49	46, 48	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. CMod /\ ( x e. V /\ k e. K ) ) -> ( ( ( norm ` ℂfld ) |` K ) ` k ) = ( abs ` k ) )
50	42, 49	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. CMod /\ ( x e. V /\ k e. K ) ) -> ( ( norm ` F ) ` k ) = ( abs ` k ) )
51	50	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. CMod /\ ( x e. V /\ k e. K ) ) -> ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) = ( ( abs ` k ) x. ( N ` x ) ) )
52	51	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. CMod /\ ( x e. V /\ k e. K ) ) -> ( ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) <-> ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( abs ` k ) x. ( N ` x ) ) ) )
53	52	2ralbidva 2988	. . . . . . . . 9 |- ( W e. CMod -> ( A. x e. V A. k e. K ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) <-> A. x e. V A. k e. K ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( abs ` k ) x. ( N ` x ) ) ) )
54	33, 53	syl5bb 272	. . . . . . . 8 |- ( W e. CMod -> ( A. k e. K A. x e. V ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) <-> A. x e. V A. k e. K ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( abs ` k ) x. ( N ` x ) ) ) )
55	54	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( W e. CMod -> ( ( W e. NrmGrp /\ A. k e. K A. x e. V ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) ) <-> ( W e. NrmGrp /\ A. x e. V A. k e. K ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( abs ` k ) x. ( N ` x ) ) ) ) )
56	22, 32, 55	3bitr2d 296	. . . . . 6 |- ( W e. CMod -> ( ( ( W e. NrmGrp /\ W e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ A. k e. K A. x e. V ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` k ) x. ( N ` x ) ) ) <-> ( W e. NrmGrp /\ A. x e. V A. k e. K ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( abs ` k ) x. ( N ` x ) ) ) ) )
57	15, 56	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( W e. CMod -> ( W e. NrmMod <-> ( W e. NrmGrp /\ A. x e. V A. k e. K ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( abs ` k ) x. ( N ` x ) ) ) ) )
58	8, 57	syl 17	. . . 4 |- ( W e. CVec -> ( W e. NrmMod <-> ( W e. NrmGrp /\ A. x e. V A. k e. K ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( abs ` k ) x. ( N ` x ) ) ) ) )
59	4, 7, 58	3bitr2d 296	. . 3 |- ( W e. CVec -> ( W e. NrmVec <-> ( W e. NrmGrp /\ A. x e. V A. k e. K ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( abs ` k ) x. ( N ` x ) ) ) ) )
60	59	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( W e. CVec /\ W e. NrmVec ) <-> ( W e. CVec /\ ( W e. NrmGrp /\ A. x e. V A. k e. K ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( abs ` k ) x. ( N ` x ) ) ) ) )
61		elin 3796	. . 3 |- ( W e. (NrmVec i^i CVec ) <-> ( W e. NrmVec /\ W e. CVec ) )
62		ancom 466	. . 3 |- ( ( W e. NrmVec /\ W e. CVec ) <-> ( W e. CVec /\ W e. NrmVec ) )
63	61, 62	bitri 264	. 2 |- ( W e. (NrmVec i^i CVec ) <-> ( W e. CVec /\ W e. NrmVec ) )
64		3anass 1042	. 2 |- ( ( W e. CVec /\ W e. NrmGrp /\ A. x e. V A. k e. K ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( abs ` k ) x. ( N ` x ) ) ) <-> ( W e. CVec /\ ( W e. NrmGrp /\ A. x e. V A. k e. K ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( abs ` k ) x. ( N ` x ) ) ) ) )
65	60, 63, 64	3bitr4i 292	1 |- ( W e. (NrmVec i^i CVec ) <-> ( W e. CVec /\ W e. NrmGrp /\ A. x e. V A. k e. K ( N ` ( k .x. x ) ) = ( ( abs ` k ) x. ( N ` x ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   x. cmul 9941   abscabs 13974   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945  SubGrpcsubg 17588  SubRingcsubrg 18776   LModclmod 18863   LVecclvec 19102  ℂ_fldccnfld 19746   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382  NrmRingcnrg 22384  NrmModcnlm 22385  NrmVeccnvc 22386  CModcclm 22862  CVecccvs 22923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-nvc 22392  df-clm 22863  df-cvs 22924

This theorem is referenced by:  isncvsngpd  22950  ncvsi  22951