Theorem cvsi 22930

Description: The properties of a subcomplex vector space, which is an Abelian group (i.e. the vectors, with the operation of vector addition) accompanied by a scalar multiplication operation on the field of complex numbers. (Contributed by NM, 3-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsi.x	|- X = ( Base ` W )
cvsi.a	|- .+ = ( +g ` W )
cvsi.s	|- S = ( Base ` (Scalar ` W ) )
cvsi.m	|- .xb = ( .sf ` W )
cvsi.t	|- .x. = ( .s ` W )

Assertion

Ref	Expression
cvsi	|- ( W e. CVec -> ( W e. Abel /\ ( S C_ CC /\ .xb : ( S X. X ) --> X ) /\ A. x e. X ( ( 1 .x. x ) = x /\ A. y e. S ( A. z e. X ( y .x. ( x .+ z ) ) = ( ( y .x. x ) .+ ( y .x. z ) ) /\ A. z e. S ( ( ( y + z ) .x. x ) = ( ( y .x. x ) .+ ( z .x. x ) ) /\ ( ( y x. z ) .x. x ) = ( y .x. ( z .x. x ) ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, W, y, z   y, X, z   z, S

Allowed substitution hints:   .+ ( x, y, z)   S( x, y)   .xb ( x, y, z)   .x. ( x, y, z)   X( x)

Proof of Theorem cvsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cvs 22924	. . . 4 |- CVec = (CMod i^i LVec )
2	1	eleq2i 2693	. . 3 |- ( W e. CVec <-> W e. (CMod i^i LVec ) )
3		elin 3796	. . 3 |- ( W e. (CMod i^i LVec ) <-> ( W e. CMod /\ W e. LVec ) )
4	2, 3	bitri 264	. 2 |- ( W e. CVec <-> ( W e. CMod /\ W e. LVec ) )
5		lveclmod 19106	. . . . 5 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
6		lmodabl 18910	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( W e. LVec -> W e. Abel )
8	7	adantl 482	. . 3 |- ( ( W e. CMod /\ W e. LVec ) -> W e. Abel )
9		eqid 2622	. . . . . 6 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
10		cvsi.s	. . . . . 6 |- S = ( Base ` (Scalar ` W ) )
11	9, 10	clmsscn 22879	. . . . 5 |- ( W e. CMod -> S C_ CC )
12		clmlmod 22867	. . . . . 6 |- ( W e. CMod -> W e. LMod )
13		cvsi.x	. . . . . . 7 |- X = ( Base ` W )
14		cvsi.m	. . . . . . 7 |- .xb = ( .sf ` W )
15	13, 9, 10, 14	lmodscaf 18885	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> .xb : ( S X. X ) --> X )
16	12, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( W e. CMod -> .xb : ( S X. X ) --> X )
17	11, 16	jca 554	. . . 4 |- ( W e. CMod -> ( S C_ CC /\ .xb : ( S X. X ) --> X ) )
18	17	adantr 481	. . 3 |- ( ( W e. CMod /\ W e. LVec ) -> ( S C_ CC /\ .xb : ( S X. X ) --> X ) )
19	9	clm1 22873	. . . . . . . . 9 |- ( W e. CMod -> 1 = ( 1r ` (Scalar ` W ) ) )
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. CMod /\ x e. X ) -> 1 = ( 1r ` (Scalar ` W ) ) )
21	20	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( W e. CMod /\ x e. X ) -> ( 1 .x. x ) = ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) .x. x ) )
22	12	anim1i 592	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. CMod /\ x e. X ) -> ( W e. LMod /\ x e. X ) )
23		cvsi.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .s ` W )
24		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
25	13, 9, 23, 24	lmodvs1 18891	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ x e. X ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) .x. x ) = x )
26	22, 25	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( W e. CMod /\ x e. X ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) .x. x ) = x )
27	21, 26	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( W e. CMod /\ x e. X ) -> ( 1 .x. x ) = x )
28	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. CMod /\ x e. X ) -> W e. LMod )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) -> W e. LMod )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> W e. LMod )
31		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> y e. S )
32		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> x e. X )
33		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> z e. X )
34	31, 32, 33	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( y e. S /\ x e. X /\ z e. X ) )
35	30, 34	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( W e. LMod /\ ( y e. S /\ x e. X /\ z e. X ) ) )
36		cvsi.a	. . . . . . . . . . 11 |- .+ = ( +g ` W )
37	13, 36, 9, 23, 10	lmodvsdi 18886	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ ( y e. S /\ x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y .x. ( x .+ z ) ) = ( ( y .x. x ) .+ ( y .x. z ) ) )
38	35, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( y .x. ( x .+ z ) ) = ( ( y .x. x ) .+ ( y .x. z ) ) )
39	38	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) -> A. z e. X ( y .x. ( x .+ z ) ) = ( ( y .x. x ) .+ ( y .x. z ) ) )
40	9	clmadd 22874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W e. CMod -> + = ( +g ` (Scalar ` W ) ) )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. CMod /\ x e. X ) -> + = ( +g ` (Scalar ` W ) ) )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) -> + = ( +g ` (Scalar ` W ) ) )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> + = ( +g ` (Scalar ` W ) ) )
44	43	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y + z ) = ( y ( +g ` (Scalar ` W ) ) z ) )
45	44	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( ( y + z ) .x. x ) = ( ( y ( +g ` (Scalar ` W ) ) z ) .x. x ) )
46	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> W e. LMod )
47		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) -> y e. S )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> y e. S )
49		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> z e. S )
50		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. CMod /\ x e. X ) -> x e. X )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) -> x e. X )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> x e. X )
53	48, 49, 52	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y e. S /\ z e. S /\ x e. X ) )
54	46, 53	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( W e. LMod /\ ( y e. S /\ z e. S /\ x e. X ) ) )
55		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` (Scalar ` W ) ) = ( +g ` (Scalar ` W ) )
56	13, 36, 9, 23, 10, 55	lmodvsdir 18887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. LMod /\ ( y e. S /\ z e. S /\ x e. X ) ) -> ( ( y ( +g ` (Scalar ` W ) ) z ) .x. x ) = ( ( y .x. x ) .+ ( z .x. x ) ) )
57	54, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( ( y ( +g ` (Scalar ` W ) ) z ) .x. x ) = ( ( y .x. x ) .+ ( z .x. x ) ) )
58	45, 57	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( ( y + z ) .x. x ) = ( ( y .x. x ) .+ ( z .x. x ) ) )
59	9	clmmul 22875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W e. CMod -> x. = ( .r ` (Scalar ` W ) ) )
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. CMod /\ x e. X ) -> x. = ( .r ` (Scalar ` W ) ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) -> x. = ( .r ` (Scalar ` W ) ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> x. = ( .r ` (Scalar ` W ) ) )
63	62	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y x. z ) = ( y ( .r ` (Scalar ` W ) ) z ) )
64	63	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( ( y x. z ) .x. x ) = ( ( y ( .r ` (Scalar ` W ) ) z ) .x. x ) )
65		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .r ` (Scalar ` W ) ) = ( .r ` (Scalar ` W ) )
66	13, 9, 23, 10, 65	lmodvsass 18888	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. LMod /\ ( y e. S /\ z e. S /\ x e. X ) ) -> ( ( y ( .r ` (Scalar ` W ) ) z ) .x. x ) = ( y .x. ( z .x. x ) ) )
67	54, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( ( y ( .r ` (Scalar ` W ) ) z ) .x. x ) = ( y .x. ( z .x. x ) ) )
68	64, 67	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( ( y x. z ) .x. x ) = ( y .x. ( z .x. x ) ) )
69	58, 68	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( ( ( y + z ) .x. x ) = ( ( y .x. x ) .+ ( z .x. x ) ) /\ ( ( y x. z ) .x. x ) = ( y .x. ( z .x. x ) ) ) )
70	69	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) -> A. z e. S ( ( ( y + z ) .x. x ) = ( ( y .x. x ) .+ ( z .x. x ) ) /\ ( ( y x. z ) .x. x ) = ( y .x. ( z .x. x ) ) ) )
71	39, 70	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. CMod /\ x e. X ) /\ y e. S ) -> ( A. z e. X ( y .x. ( x .+ z ) ) = ( ( y .x. x ) .+ ( y .x. z ) ) /\ A. z e. S ( ( ( y + z ) .x. x ) = ( ( y .x. x ) .+ ( z .x. x ) ) /\ ( ( y x. z ) .x. x ) = ( y .x. ( z .x. x ) ) ) ) )
72	71	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( W e. CMod /\ x e. X ) -> A. y e. S ( A. z e. X ( y .x. ( x .+ z ) ) = ( ( y .x. x ) .+ ( y .x. z ) ) /\ A. z e. S ( ( ( y + z ) .x. x ) = ( ( y .x. x ) .+ ( z .x. x ) ) /\ ( ( y x. z ) .x. x ) = ( y .x. ( z .x. x ) ) ) ) )
73	27, 72	jca 554	. . . . 5 |- ( ( W e. CMod /\ x e. X ) -> ( ( 1 .x. x ) = x /\ A. y e. S ( A. z e. X ( y .x. ( x .+ z ) ) = ( ( y .x. x ) .+ ( y .x. z ) ) /\ A. z e. S ( ( ( y + z ) .x. x ) = ( ( y .x. x ) .+ ( z .x. x ) ) /\ ( ( y x. z ) .x. x ) = ( y .x. ( z .x. x ) ) ) ) ) )
74	73	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( W e. CMod -> A. x e. X ( ( 1 .x. x ) = x /\ A. y e. S ( A. z e. X ( y .x. ( x .+ z ) ) = ( ( y .x. x ) .+ ( y .x. z ) ) /\ A. z e. S ( ( ( y + z ) .x. x ) = ( ( y .x. x ) .+ ( z .x. x ) ) /\ ( ( y x. z ) .x. x ) = ( y .x. ( z .x. x ) ) ) ) ) )
75	74	adantr 481	. . 3 |- ( ( W e. CMod /\ W e. LVec ) -> A. x e. X ( ( 1 .x. x ) = x /\ A. y e. S ( A. z e. X ( y .x. ( x .+ z ) ) = ( ( y .x. x ) .+ ( y .x. z ) ) /\ A. z e. S ( ( ( y + z ) .x. x ) = ( ( y .x. x ) .+ ( z .x. x ) ) /\ ( ( y x. z ) .x. x ) = ( y .x. ( z .x. x ) ) ) ) ) )
76	8, 18, 75	3jca 1242	. 2 |- ( ( W e. CMod /\ W e. LVec ) -> ( W e. Abel /\ ( S C_ CC /\ .xb : ( S X. X ) --> X ) /\ A. x e. X ( ( 1 .x. x ) = x /\ A. y e. S ( A. z e. X ( y .x. ( x .+ z ) ) = ( ( y .x. x ) .+ ( y .x. z ) ) /\ A. z e. S ( ( ( y + z ) .x. x ) = ( ( y .x. x ) .+ ( z .x. x ) ) /\ ( ( y x. z ) .x. x ) = ( y .x. ( z .x. x ) ) ) ) ) ) )
77	4, 76	sylbi 207	1 |- ( W e. CVec -> ( W e. Abel /\ ( S C_ CC /\ .xb : ( S X. X ) --> X ) /\ A. x e. X ( ( 1 .x. x ) = x /\ A. y e. S ( A. z e. X ( y .x. ( x .+ z ) ) = ( ( y .x. x ) .+ ( y .x. z ) ) /\ A. z e. S ( ( ( y + z ) .x. x ) = ( ( y .x. x ) .+ ( z .x. x ) ) /\ ( ( y x. z ) .x. x ) = ( y .x. ( z .x. x ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   Abelcabl 18194   1rcur 18501   LModclmod 18863   .sfcscaf 18864   LVecclvec 19102  CModcclm 22862  CVecccvs 22923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-lvec 19103  df-cnfld 19747  df-clm 22863  df-cvs 22924

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