Theorem cntzval 17754

Description: Definition substitution for a centralizer. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzfval.b	|- B = ( Base ` M )
cntzfval.p	|- .+ = ( +g ` M )
cntzfval.z	|- Z = (Cntz ` M )

Assertion

Ref	Expression
cntzval	|- ( S C_ B -> ( Z ` S ) = { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } )

Distinct variable groups:   x, y, .+   x, B   x, M, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( y)   Z( x, y)

Proof of Theorem cntzval

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzfval.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
2		cntzfval.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` M )
3		cntzfval.z	. . . . 5 |- Z = (Cntz ` M )
4	1, 2, 3	cntzfval 17753	. . . 4 |- ( M e. _V -> Z = ( s e. ~P B |-> { x e. B | A. y e. s ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } ) )
5	4	fveq1d 6193	. . 3 |- ( M e. _V -> ( Z ` S ) = ( ( s e. ~P B |-> { x e. B | A. y e. s ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } ) ` S ) )
6		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` M ) e. _V
7	1, 6	eqeltri 2697	. . . . 5 |- B e. _V
8	7	elpw2 4828	. . . 4 |- ( S e. ~P B <-> S C_ B )
9		raleq 3138	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( A. y e. s ( x .+ y ) = ( y .+ x ) <-> A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
10	9	rabbidv 3189	. . . . 5 |- ( s = S -> { x e. B | A. y e. s ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } = { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } )
11		eqid 2622	. . . . 5 |- ( s e. ~P B |-> { x e. B | A. y e. s ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } ) = ( s e. ~P B |-> { x e. B | A. y e. s ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } )
12	7	rabex 4813	. . . . 5 |- { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } e. _V
13	10, 11, 12	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( S e. ~P B -> ( ( s e. ~P B |-> { x e. B | A. y e. s ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } ) ` S ) = { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } )
14	8, 13	sylbir 225	. . 3 |- ( S C_ B -> ( ( s e. ~P B |-> { x e. B | A. y e. s ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } ) ` S ) = { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } )
15	5, 14	sylan9eq 2676	. 2 |- ( ( M e. _V /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) = { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } )
16		0fv 6227	. . . 4 |- ( (/) ` S ) = (/)
17		fvprc 6185	. . . . . 6 |- ( -. M e. _V -> (Cntz ` M ) = (/) )
18	3, 17	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( -. M e. _V -> Z = (/) )
19	18	fveq1d 6193	. . . 4 |- ( -. M e. _V -> ( Z ` S ) = ( (/) ` S ) )
20		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } C_ B
21		fvprc 6185	. . . . . . 7 |- ( -. M e. _V -> ( Base ` M ) = (/) )
22	1, 21	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( -. M e. _V -> B = (/) )
23	20, 22	syl5sseq 3653	. . . . 5 |- ( -. M e. _V -> { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } C_ (/) )
24		ss0 3974	. . . . 5 |- ( { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } C_ (/) -> { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } = (/) )
25	23, 24	syl 17	. . . 4 |- ( -. M e. _V -> { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } = (/) )
26	16, 19, 25	3eqtr4a 2682	. . 3 |- ( -. M e. _V -> ( Z ` S ) = { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } )
27	26	adantr 481	. 2 |- ( ( -. M e. _V /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) = { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } )
28	15, 27	pm2.61ian 831	1 |- ( S C_ B -> ( Z ` S ) = { x e. B | A. y e. S ( x .+ y ) = ( y .+ x ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Cntzccntz 17748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-cntz 17750

This theorem is referenced by:  elcntz  17755  cntzsnval  17757  sscntz  17759  cntzssv  17761  cntziinsn  17767