Theorem dff3 6372

Description: Alternate definition of a mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dff3	|- ( F : A --> B <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dff3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 6060	. . 3 |- ( F : A --> B -> F C_ ( A X. B ) )
2		ffun 6048	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> Fun F )
3		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
4	3	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
5	4	biimpar 502	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x e. dom F )
6		funfvop 6329	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
7	2, 5, 6	syl2an2r 876	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
8		df-br 4654	. . . . . . 7 |- ( x F ( F ` x ) <-> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
9	7, 8	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x F ( F ` x ) )
10		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( F ` x ) e. _V
11		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( x F y <-> x F ( F ` x ) ) )
12	10, 11	spcev 3300	. . . . . 6 |- ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y )
13	9, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E. y x F y )
14		funmo 5904	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> E* y x F y )
15	2, 14	syl 17	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> E* y x F y )
16	15	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E* y x F y )
17		eu5 2496	. . . . 5 |- ( E! y x F y <-> ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
18	13, 16, 17	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E! y x F y )
19	18	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( F : A --> B -> A. x e. A E! y x F y )
20	1, 19	jca 554	. 2 |- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )
21		xpss 5226	. . . . . . . 8 |- ( A X. B ) C_ ( _V X. _V )
22		sstr 3611	. . . . . . . 8 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( A X. B ) C_ ( _V X. _V ) ) -> F C_ ( _V X. _V ) )
23	21, 22	mpan2 707	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> F C_ ( _V X. _V ) )
24		df-rel 5121	. . . . . . 7 |- ( Rel F <-> F C_ ( _V X. _V ) )
25	23, 24	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> Rel F )
26	25	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> Rel F )
27		df-ral 2917	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E! y x F y <-> A. x ( x e. A -> E! y x F y ) )
28		eumo 2499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E! y x F y -> E* y x F y )
29	28	imim2i 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A -> E! y x F y ) -> ( x e. A -> E* y x F y ) )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. A -> E! y x F y ) ) -> ( x e. A -> E* y x F y ) )
31		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
32		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
33	31, 32	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y -> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
34		opelxp1 5150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> x e. A )
35	33, 34	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y -> x e. A ) )
36	35	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( E. y x F y -> x e. A ) )
37	36	con3d 148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( -. x e. A -> -. E. y x F y ) )
38		exmo 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y x F y \/ E* y x F y )
39	38	ori 390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. E. y x F y -> E* y x F y )
40	37, 39	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( -. x e. A -> E* y x F y ) )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. A -> E! y x F y ) ) -> ( -. x e. A -> E* y x F y ) )
42	30, 41	pm2.61d 170	. . . . . . . . 9 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. A -> E! y x F y ) ) -> E* y x F y )
43	42	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( ( x e. A -> E! y x F y ) -> E* y x F y ) )
44	43	alimdv 1845	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( A. x ( x e. A -> E! y x F y ) -> A. x E* y x F y ) )
45	27, 44	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( A. x e. A E! y x F y -> A. x E* y x F y ) )
46	45	imp 445	. . . . 5 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> A. x E* y x F y )
47		dffun6 5903	. . . . 5 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x E* y x F y ) )
48	26, 46, 47	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> Fun F )
49		dmss 5323	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> dom F C_ dom ( A X. B ) )
50		dmxpss 5565	. . . . . . 7 |- dom ( A X. B ) C_ A
51	49, 50	syl6ss 3615	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> dom F C_ A )
52		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x F y <-> z F y ) )
53	52	eubidv 2490	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( E! y x F y <-> E! y z F y ) )
54	53	rspccv 3306	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A E! y x F y -> ( z e. A -> E! y z F y ) )
55		euex 2494	. . . . . . . . 9 |- ( E! y z F y -> E. y z F y )
56		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
57	56	eldm 5321	. . . . . . . . 9 |- ( z e. dom F <-> E. y z F y )
58	55, 57	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( E! y z F y -> z e. dom F )
59	54, 58	syl6 35	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E! y x F y -> ( z e. A -> z e. dom F ) )
60	59	ssrdv 3609	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E! y x F y -> A C_ dom F )
61	51, 60	anim12i 590	. . . . 5 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> ( dom F C_ A /\ A C_ dom F ) )
62		eqss 3618	. . . . 5 |- ( dom F = A <-> ( dom F C_ A /\ A C_ dom F ) )
63	61, 62	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> dom F = A )
64		df-fn 5891	. . . 4 |- ( F Fn A <-> ( Fun F /\ dom F = A ) )
65	48, 63, 64	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> F Fn A )
66		rnss 5354	. . . . 5 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ran F C_ ran ( A X. B ) )
67		rnxpss 5566	. . . . 5 |- ran ( A X. B ) C_ B
68	66, 67	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ran F C_ B )
69	68	adantr 481	. . 3 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> ran F C_ B )
70		df-f 5892	. . 3 |- ( F : A --> B <-> ( F Fn A /\ ran F C_ B ) )
71	65, 69, 70	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> F : A --> B )
72	20, 71	impbii 199	1 |- ( F : A --> B <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   E*wmo 2471   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  dff4  6373  seqomlem2  7546