Theorem dfgrp3lem 17513

Description: Lemma for dfgrp3 17514. (Contributed by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp3.b	|- B = ( Base ` G )
dfgrp3.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
dfgrp3lem	|- ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) )

Distinct variable groups:   B, a, i, l, r, u, x, y   G, a, i, l, r, u, x, y   .+ , a, i, l, r, u, x, y

Proof of Theorem dfgrp3lem

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1062	. . 3 |- ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> B =/= (/) )
2		n0 3931	. . 3 |- ( B =/= (/) <-> E. w w e. B )
3	1, 2	sylib 208	. 2 |- ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. w w e. B )
4		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( l .+ x ) = ( l .+ w ) )
5	4	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( ( l .+ x ) = y <-> ( l .+ w ) = y ) )
6	5	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( E. l e. B ( l .+ x ) = y <-> E. l e. B ( l .+ w ) = y ) )
7		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( x .+ r ) = ( w .+ r ) )
8	7	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( ( x .+ r ) = y <-> ( w .+ r ) = y ) )
9	8	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( E. r e. B ( x .+ r ) = y <-> E. r e. B ( w .+ r ) = y ) )
10	6, 9	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) <-> ( E. l e. B ( l .+ w ) = y /\ E. r e. B ( w .+ r ) = y ) ) )
11	10	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) <-> A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ w ) = y /\ E. r e. B ( w .+ r ) = y ) ) )
12	11	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( w e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ w ) = y /\ E. r e. B ( w .+ r ) = y ) ) )
13		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( ( l .+ w ) = y <-> ( l .+ w ) = w ) )
14	13	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( E. l e. B ( l .+ w ) = y <-> E. l e. B ( l .+ w ) = w ) )
15		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( ( w .+ r ) = y <-> ( w .+ r ) = w ) )
16	15	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( E. r e. B ( w .+ r ) = y <-> E. r e. B ( w .+ r ) = w ) )
17	14, 16	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( ( E. l e. B ( l .+ w ) = y /\ E. r e. B ( w .+ r ) = y ) <-> ( E. l e. B ( l .+ w ) = w /\ E. r e. B ( w .+ r ) = w ) ) )
18	17	rspcva 3307	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. B /\ A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ w ) = y /\ E. r e. B ( w .+ r ) = y ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ w ) = w /\ E. r e. B ( w .+ r ) = w ) )
19		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = u -> ( l .+ w ) = ( u .+ w ) )
20	19	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( l = u -> ( ( l .+ w ) = w <-> ( u .+ w ) = w ) )
21	20	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( E. l e. B ( l .+ w ) = w <-> E. u e. B ( u .+ w ) = w )
22	21	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( E. l e. B ( l .+ w ) = w -> E. u e. B ( u .+ w ) = w )
23	22	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( E. l e. B ( l .+ w ) = w /\ E. r e. B ( w .+ r ) = w ) -> E. u e. B ( u .+ w ) = w )
24	18, 23	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( w e. B /\ A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ w ) = y /\ E. r e. B ( w .+ r ) = y ) ) -> E. u e. B ( u .+ w ) = w )
25	24	ex 450	. . . . . 6 |- ( w e. B -> ( A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ w ) = y /\ E. r e. B ( w .+ r ) = y ) -> E. u e. B ( u .+ w ) = w ) )
26	12, 25	syldc 48	. . . . 5 |- ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> ( w e. B -> E. u e. B ( u .+ w ) = w ) )
27	26	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( w e. B -> E. u e. B ( u .+ w ) = w ) )
28	27	imp 445	. . 3 |- ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) -> E. u e. B ( u .+ w ) = w )
29		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = a -> ( ( l .+ w ) = y <-> ( l .+ w ) = a ) )
30	29	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = a -> ( E. l e. B ( l .+ w ) = y <-> E. l e. B ( l .+ w ) = a ) )
31		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = a -> ( ( w .+ r ) = y <-> ( w .+ r ) = a ) )
32	31	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = a -> ( E. r e. B ( w .+ r ) = y <-> E. r e. B ( w .+ r ) = a ) )
33	30, 32	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = a -> ( ( E. l e. B ( l .+ w ) = y /\ E. r e. B ( w .+ r ) = y ) <-> ( E. l e. B ( l .+ w ) = a /\ E. r e. B ( w .+ r ) = a ) ) )
34	10, 33	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w e. B /\ a e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ w ) = a /\ E. r e. B ( w .+ r ) = a ) )
35	34	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( w e. B /\ a e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. r e. B ( w .+ r ) = a )
36	35	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> ( ( w e. B /\ a e. B ) -> E. r e. B ( w .+ r ) = a ) )
37	36	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( ( w e. B /\ a e. B ) -> E. r e. B ( w .+ r ) = a ) )
38	37	impl 650	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ a e. B ) -> E. r e. B ( w .+ r ) = a )
39	38	ad2ant2r 783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( a e. B /\ ( u .+ w ) = w ) ) -> E. r e. B ( w .+ r ) = a )
40		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = z -> ( w .+ r ) = ( w .+ z ) )
41	40	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = z -> ( ( w .+ r ) = a <-> ( w .+ z ) = a ) )
42	41	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( E. r e. B ( w .+ r ) = a <-> E. z e. B ( w .+ z ) = a )
43		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) -> G e. SGrp )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( ( u .+ w ) = w /\ z e. B ) ) -> G e. SGrp )
45		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( ( u .+ w ) = w /\ z e. B ) ) -> u e. B )
46		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( ( u .+ w ) = w /\ z e. B ) ) -> w e. B )
47		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( ( u .+ w ) = w /\ z e. B ) ) -> z e. B )
48		dfgrp3.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B = ( Base ` G )
49		dfgrp3.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .+ = ( +g ` G )
50	48, 49	sgrpass 17290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. SGrp /\ ( u e. B /\ w e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( u .+ w ) .+ z ) = ( u .+ ( w .+ z ) ) )
51	44, 45, 46, 47, 50	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( ( u .+ w ) = w /\ z e. B ) ) -> ( ( u .+ w ) .+ z ) = ( u .+ ( w .+ z ) ) )
52		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( ( u .+ w ) = w /\ z e. B ) ) -> ( u .+ w ) = w )
53	52	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( ( u .+ w ) = w /\ z e. B ) ) -> ( ( u .+ w ) .+ z ) = ( w .+ z ) )
54	51, 53	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( ( u .+ w ) = w /\ z e. B ) ) -> ( u .+ ( w .+ z ) ) = ( w .+ z ) )
55	54	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( u .+ w ) = w ) /\ z e. B ) -> ( u .+ ( w .+ z ) ) = ( w .+ z ) )
56		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w .+ z ) = a -> ( u .+ ( w .+ z ) ) = ( u .+ a ) )
57		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w .+ z ) = a -> ( w .+ z ) = a )
58	56, 57	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w .+ z ) = a -> ( ( u .+ ( w .+ z ) ) = ( w .+ z ) <-> ( u .+ a ) = a ) )
59	55, 58	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( u .+ w ) = w ) /\ z e. B ) -> ( ( w .+ z ) = a -> ( u .+ a ) = a ) )
60	59	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( u .+ w ) = w ) -> ( E. z e. B ( w .+ z ) = a -> ( u .+ a ) = a ) )
61	42, 60	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( u .+ w ) = w ) -> ( E. r e. B ( w .+ r ) = a -> ( u .+ a ) = a ) )
62	61	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( a e. B /\ ( u .+ w ) = w ) ) -> ( E. r e. B ( w .+ r ) = a -> ( u .+ a ) = a ) )
63	39, 62	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( a e. B /\ ( u .+ w ) = w ) ) -> ( u .+ a ) = a )
64		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = a -> ( l .+ x ) = ( l .+ a ) )
65	64	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = a -> ( ( l .+ x ) = y <-> ( l .+ a ) = y ) )
66	65	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( E. l e. B ( l .+ x ) = y <-> E. l e. B ( l .+ a ) = y ) )
67		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = a -> ( x .+ r ) = ( a .+ r ) )
68	67	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = a -> ( ( x .+ r ) = y <-> ( a .+ r ) = y ) )
69	68	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( E. r e. B ( x .+ r ) = y <-> E. r e. B ( a .+ r ) = y ) )
70	66, 69	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) <-> ( E. l e. B ( l .+ a ) = y /\ E. r e. B ( a .+ r ) = y ) ) )
71		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = u -> ( ( l .+ a ) = y <-> ( l .+ a ) = u ) )
72	71	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = u -> ( E. l e. B ( l .+ a ) = y <-> E. l e. B ( l .+ a ) = u ) )
73		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = u -> ( ( a .+ r ) = y <-> ( a .+ r ) = u ) )
74	73	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = u -> ( E. r e. B ( a .+ r ) = y <-> E. r e. B ( a .+ r ) = u ) )
75	72, 74	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = u -> ( ( E. l e. B ( l .+ a ) = y /\ E. r e. B ( a .+ r ) = y ) <-> ( E. l e. B ( l .+ a ) = u /\ E. r e. B ( a .+ r ) = u ) ) )
76	70, 75	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. B /\ u e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ a ) = u /\ E. r e. B ( a .+ r ) = u ) )
77	76	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. B /\ u e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. l e. B ( l .+ a ) = u )
78	77	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. B /\ u e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> E. l e. B ( l .+ a ) = u ) )
79	78	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. B /\ a e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> E. l e. B ( l .+ a ) = u ) )
80	79	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> ( ( u e. B /\ a e. B ) -> E. l e. B ( l .+ a ) = u ) )
81	80	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( ( u e. B /\ a e. B ) -> E. l e. B ( l .+ a ) = u ) )
82	81	impl 650	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ u e. B ) /\ a e. B ) -> E. l e. B ( l .+ a ) = u )
83		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = i -> ( l .+ a ) = ( i .+ a ) )
84	83	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( l = i -> ( ( l .+ a ) = u <-> ( i .+ a ) = u ) )
85	84	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( E. l e. B ( l .+ a ) = u <-> E. i e. B ( i .+ a ) = u )
86	82, 85	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ u e. B ) /\ a e. B ) -> E. i e. B ( i .+ a ) = u )
87	86	adantllr 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ a e. B ) -> E. i e. B ( i .+ a ) = u )
88	87	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( a e. B /\ ( u .+ w ) = w ) ) -> E. i e. B ( i .+ a ) = u )
89	63, 88	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( a e. B /\ ( u .+ w ) = w ) ) -> ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) )
90	89	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ a e. B ) -> ( ( u .+ w ) = w -> ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) ) )
91	90	ralrimdva 2969	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) -> ( ( u .+ w ) = w -> A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) ) )
92	91	reximdva 3017	. . 3 |- ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) -> ( E. u e. B ( u .+ w ) = w -> E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) ) )
93	28, 92	mpd 15	. 2 |- ( ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) -> E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) )
94	3, 93	exlimddv 1863	1 |- ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  SGrpcsgrp 17283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-sgrp 17284

This theorem is referenced by:  dfgrp3  17514