Theorem dfgrp3 17514

Description: Alternate definition of a group as semigroup (with at least one element) which is also a quasigroup, i.e. a magma in which solutions x and y of the equations ( a .+ x ) = b and ( x .+ a ) = b exist. Theorem 3.2 of [Bruck] p. 28. (Contributed by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp3.b	|- B = ( Base ` G )
dfgrp3.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
dfgrp3	|- ( G e. Grp <-> ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )

Distinct variable groups:   B, l, r, x, y   G, l, r, x, y   .+ , l, r, x, y

Proof of Theorem dfgrp3

Dummy variables a i u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsgrp 17446	. . 3 |- ( G e. Grp -> G e. SGrp )
2		dfgrp3.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3	2	grpbn0 17451	. . 3 |- ( G e. Grp -> B =/= (/) )
4		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> G e. Grp )
5		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> y e. B )
6	5	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
7		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> x e. B )
8	7	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
9		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
10	2, 9	grpsubcl 17495	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B /\ x e. B ) -> ( y ( -g ` G ) x ) e. B )
11	4, 6, 8, 10	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( y ( -g ` G ) x ) e. B )
12		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( l = ( y ( -g ` G ) x ) -> ( l .+ x ) = ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) )
13	12	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( l = ( y ( -g ` G ) x ) -> ( ( l .+ x ) = y <-> ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) = y ) )
14	13	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ l = ( y ( -g ` G ) x ) ) -> ( ( l .+ x ) = y <-> ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) = y ) )
15		dfgrp3.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
16	2, 15, 9	grpnpcan 17507	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B /\ x e. B ) -> ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) = y )
17	4, 6, 8, 16	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( y ( -g ` G ) x ) .+ x ) = y )
18	11, 14, 17	rspcedvd 3317	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> E. l e. B ( l .+ x ) = y )
19		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
20	2, 19	grpinvcl 17467	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. B )
21	20	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. B )
22	2, 15	grpcl 17430	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` x ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) e. B )
23	4, 21, 6, 22	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) e. B )
24		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( r = ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) -> ( x .+ r ) = ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) )
25	24	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( r = ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) -> ( ( x .+ r ) = y <-> ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) = y ) )
26	25	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ r = ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) -> ( ( x .+ r ) = y <-> ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) = y ) )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
28	2, 15, 27, 19	grprinv 17469	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) = ( 0g ` G ) )
29	28	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) = ( 0g ` G ) )
30	29	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) .+ y ) = ( ( 0g ` G ) .+ y ) )
31	2, 15	grpass 17431	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ ( ( invg ` G ) ` x ) e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) .+ y ) = ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) )
32	4, 8, 21, 6, 31	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .+ ( ( invg ` G ) ` x ) ) .+ y ) = ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) )
33		grpmnd 17429	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
34	2, 15, 27	mndlid 17311	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
35	33, 5, 34	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
36	30, 32, 35	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ ( ( ( invg ` G ) ` x ) .+ y ) ) = y )
37	23, 26, 36	rspcedvd 3317	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> E. r e. B ( x .+ r ) = y )
38	18, 37	jca 554	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
39	38	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( G e. Grp -> A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
40	1, 3, 39	3jca 1242	. 2 |- ( G e. Grp -> ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )
41		simp1 1061	. . 3 |- ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. SGrp )
42	2, 15	dfgrp3lem 17513	. . 3 |- ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) )
43	2, 15	dfgrp2 17447	. . 3 |- ( G e. Grp <-> ( G e. SGrp /\ E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) ) )
44	41, 42, 43	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> G e. Grp )
45	40, 44	impbii 199	1 |- ( G e. Grp <-> ( G e. SGrp /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100  SGrpcsgrp 17283   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427

This theorem is referenced by:  dfgrp3e  17515