Theorem dfint3 32059

Description: Quantifier-free definition of class intersection. (Contributed by Scott Fenton, 13-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dfint3	|- |^| A = ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) )

Proof of Theorem dfint3

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfint2 4477	. 2 |- |^| A = { x | A. y e. A x e. y }
2		ralnex 2992	. . . 4 |- ( A. y e. A -. y `' ( _V \ _E ) x <-> -. E. y e. A y `' ( _V \ _E ) x )
3		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
4		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
5	3, 4	brcnv 5305	. . . . . . . 8 |- ( y `' ( _V \ _E ) x <-> x ( _V \ _E ) y )
6		brv 4941	. . . . . . . . 9 |- x _V y
7		brdif 4705	. . . . . . . . 9 |- ( x ( _V \ _E ) y <-> ( x _V y /\ -. x _E y ) )
8	6, 7	mpbiran 953	. . . . . . . 8 |- ( x ( _V \ _E ) y <-> -. x _E y )
9	5, 8	bitr2i 265	. . . . . . 7 |- ( -. x _E y <-> y `' ( _V \ _E ) x )
10	9	con1bii 346	. . . . . 6 |- ( -. y `' ( _V \ _E ) x <-> x _E y )
11		epel 5032	. . . . . 6 |- ( x _E y <-> x e. y )
12	10, 11	bitr2i 265	. . . . 5 |- ( x e. y <-> -. y `' ( _V \ _E ) x )
13	12	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. y e. A x e. y <-> A. y e. A -. y `' ( _V \ _E ) x )
14		eldif 3584	. . . . . 6 |- ( x e. ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) <-> ( x e. _V /\ -. x e. ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) )
15	4, 14	mpbiran 953	. . . . 5 |- ( x e. ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) <-> -. x e. ( `' ( _V \ _E ) " A ) )
16	4	elima 5471	. . . . 5 |- ( x e. ( `' ( _V \ _E ) " A ) <-> E. y e. A y `' ( _V \ _E ) x )
17	15, 16	xchbinx 324	. . . 4 |- ( x e. ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) <-> -. E. y e. A y `' ( _V \ _E ) x )
18	2, 13, 17	3bitr4ri 293	. . 3 |- ( x e. ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) <-> A. y e. A x e. y )
19	18	abbi2i 2738	. 2 |- ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) = { x | A. y e. A x e. y }
20	1, 19	eqtr4i 2647	1 |- |^| A = ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   _E cep 5028   `'ccnv 5113   "cima 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-eprel 5029  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127

This theorem is referenced by: (None)